Электродинамические силы, связанные с токами индукции в проводящей жидкости, часто могут играть роль возвращающей силы аналогично упругости струны. Поэтому нетрудно представить такой случай, когда взаимодействие этих сил с силами инерции жидкости приведет к появлению волн. Такие магнитогидродинамические волны открыл Альфвен [8]. В жидкости имеется еще одна возвращающая сила, пропорциональная градиенту давления, которая приводит к появлению обычных звуковых волн в отсутствие магнитного поля. При наличии магнитного поля существуют различные типы волн, в которых возвращающая сила определяется как электро- 190 динамическими, так и механическими эффектами. Эти волны впервые обсуждались в работах [109, 110], а подробное исследование их можно найти в работах [59, 111, 125]. Изучим плоскую магнитогидродинамическую волну, которая распространяется в однородной плазме, помещенной в однородное и постоянное внешнее магнитное поле Bq. Невозмущенное состояние плазмы характеризуется постоянной плотностью п0 ионов и электронов, а также постоянными и равными тепловыми энергиями Кц\ =Ке\\ =К\\ и Кц_ =Ке± =гК± в продольном и по- перечном направлениях. Поле действующих сил связано с электрическим полем ?, которое возникает в волне. При движении плазмы в волне возникает плотность электрического тока / и магнитное поле В = В— В0, где В — полное магнитное поле. Ограничимся рассмотрением волн малой амплитуды, в которых В<^В0. Рассмотрим далее плоскую волну, волновой вектор k которой имеет произвольное направление по отношению к направлению магнитного поля В0. При этом мы рассмотрим типы волн, которые связаны как с сжатием, так и с поперечными деформациями магнитного поля. Из уравнений E.20) и B.2) следует nmi J?L = _L rot В x В — div *, F.49) dt p0 где мы пренебрегли инерцией электронов и током смещения, riittne=n, v — скорость центра масс, а я — сумма тензоров ионного и электронного давлений. Возьмем производную по времени от уравнения F.49) и в полученное выражение подставим соотношение E.57): пт J!l. = _L [rot rot AГх В)] X В — — (div ic). F.50) dt2 [x0 dt Мы воспользовались законом Ома в наинизшем порядке по параметру е E.56). Это приближение справедливо в данном случае, где основными являются эффекты магнитной индукции, а разделение заряда несущественно. 191 Выберем теперь такую координатную систему, в которой волновой вектор лежит в плоскости yz. В этом случае все величины пропорциональны exp[i(kyy+kzz+ + о)/)]. Предположим, что состояние плазмы изменяется адиабатически. 1. В изотропном случае вместо тензора давления в уравнение движения входит скалярное давление /? = =Ра+ре- Невозмущенное значение давления р связано со скоростью звука U8 следующим соотношением Щ — = 5P/3nrrii. Из уравнений E.60) и E.17) следует -^- = ---PdivT. F.51) dt 3 v ' После подстановки этого равенства в уравнение движения F.50) можно получить соответствующее дисперсионное соотношение, которое определяет три типа волн. Волны первого типа, связанные с величинами Бх и vx, имеют следующую фазовую скорость ^_^ = ^cos*e, V* = -?-, F.52) k2y+k22 №mi где VA — альфвеновская скорость, a cos2Q = kl/(k2+kl ). Фазовые скорости волн второго и третьего типов, которые связаны с величинами Вул Бг и vy, vz, равны [26] ± у [{V2A + U]f - W\uUos4\h. F.53) 2. Для анизотропного изменения состояния воспользуемся результатами работы [ИЗ], а также адиабатическими уравнениями для продольного и поперечного давлений из разделов 1.3 и 2.2 гл. 5. Введем две скорости звука Us\\ и Us\\, определяемые соотношениями U2sll=3P^/nnii и ?/*х = 2Рх/тлг-, где Р„ и Рх — невозмущенные значения продольного и поперечного давлений ри и р±. Выражения для dpl{/dt и dp±/dt, полученные из уравнений E.34) и E.35), подставим в формулу E.24) для тензора давления. Произ- 192 водные от магнитного поля В, входящие в полученное выражение, выразим затем через v при помощи уравнений C.21) и E.57). Окончательные формулы принимают следующий вид ^ (div*), = - (Р„ -Р±) Щюх, F.54) ±(div*)у = Р± ky Bkyvy + kzv2) ~{Ръ-Р±) k\ vy, F.55) ^¦(divir), = PB *,(Vy + 3*A)-(pD -P,)kykzvr F.56) Подставляя полученный результат F.54) — F.56) в уравнение F.50), получим волну, в которой колеблются величины Вх и vx. Эта волна распространяется со скоростью U2p = [v2a-\u2s\\ 4-у ?A2,)cos26. F.57) Найдем скорость распространения двух других волн, в которых меняются величины Вуу Bz и vyy vz, u2P = y[v* + t^2ii cos20 + u*- (l - Tcos2°)] ± Va — -?- Ulucoste+UL X о X Л LCos2e)l2+ ^j.cos'esitfeV''". F.58) При 9 = я/2 в обоих рассмотренных случаях существует продольная волна. Она представляет собой волну сжатия, схематически изображенную на рис. 6.6, б, в которой одновременно действуют «упругая» сила, связанная с электромагнитным полем, и градиент давления. Однако если в изотропном случае F.53) возвращающая сила определяется полным давлением Р, то в анизотропном случае F.58) соответствующий вклад в возвращающую силу определяется только поперечным давлением Р±_. При 9 = 0 решение уравнения F.52) и первое решение уравнения F.53) определяют поперечную альфве- 7 Б. Ленерт 193 новскую волну, б которой, как показано на рис. 6.6, в, возвращающая сила в волне связана только с электромагнитным полем. Вторые решения уравнений F.53) и F.58) дают чисто звуковые волны, которые различаются только тем, что в первом случае в волне происходит трехмерное сжатие, а во втором — одномерное сжатие. Далее решение уравнения F.57) и первое решение урав- 1 tB« Bi lit f НИ НИШИ 1 jl:l:l:l:l:UHI:B J (У- гт III J у» х * в=х/2 Рис. 6.6. Распространение плоской магнитогидродинамической волны с волновым вектором в однородном внешнем магнитном поле а—произвольнее направление нормали к волновому фронту, б — продольная волна с Ъ - Я/2, в — поперечная волна с 8^0 нения F.58) совпадают и дают скорость распространения альфвеновской волны, которая несколько видоизменяется при анизотропном давлении. При выполнении условия 1Ао F.59) альфвеновская волна оказывается неустойчивой [112]. Такая неустойчивость называется обычно «шланговой». Эта неустойчивость связана с наличием центробежной силы, которая действует на частицы, движущиеся с тепловой скоростью вдоль искривленных волной магнитных силовых линий. Для произвольного угла 6 второе решение уравнения F.58) становится отрицательным при Pi sin29 > ЗРц \-^ — Р\\ cos29+P±(l +sin26)l, F.60) 194 В этом случае развивается пробочная неустойчивость, которая подробно исследована в работах [114, 115]. Возникновение этой неустойчивости связано с увеличением концентрации плазмы в области слабого магнитного поля, что приводит к расширению поперечного магнитного поля. В результате этого увеличивается пробочное отношение и концентрация плазмы в рассматриваемой области еще больше возрастает. В заключение отметим, что для волн, фазовая скорость распространения которых определяется формулами F.52) и F.57), групповая скорость Ug==da)/dk имеет лишь компоненту, направленную вдоль магнитного поля. Для волн, фазовые скорости распространения которых определяются формулами F.53) и F.58), групповая скорость имеет и другие компоненты, отличные от нуля.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
