СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЛОТНОСТЬЮ ЧАСТИЦ И ВЕЛИЧИНОЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Уравнения C.16), C.19) — C.21) описывают движение ведущего центра. При усреднении уравнения движения ведущего центра по пространству скоростей получим -*- du и du mu ±m-rf- = q(E + uXB)-mwg fl dt ^ dt _ DМ fi3 - 2K„ У>-Дхп*д m FЛ) В то же время усредненное массовое движение описывается уравнениями E.20) и E.24), которые можно записать в следующем виде: т (¦?- +v-v) Г= д(Е + Гх В) — туер, — ~ V „ X XB^||)-4-fL(^±)+B/AI _/C±)(V^yrotB)> м Здесь мы предположим, что тензор давления определяется двумя скалярными величинами /?ц и р±. Теперь выясним, при каких условиях сохраняется поток 172 поля скоростей и и v согласно определению гл. 2. Взяв ротор от уравнения F.1), получим rot(?+«TxB)= Yvoi [(^в+2К1Ьф!3+ + пшп^ + т.*"± « dt dt F.3) Аналогично, применяя операцию rot к уравнению F.2), имеем xoi(E-\-~vXB)= —rot Я ^-f1|Bn/C|l)+-i-vxKx) + + (Ж. к (уВ-Вх rot В) Ах; в "+" + m-— + m(t)-v) or ;] F.4) Вообще ни поле дрейфовой скорости ведущего центра, ни поле гидродинамической скорости жидкости, рчевидно, ни удовлетворяют условиям сохранения потока B.29) и линии B.34). Эти условия могут быть выполнены только в наинизшем порядке по параметру е, т. е. когда правыми частями уравнений F.3) и F.4) можно пренебречь. Взяв ротор от уравнения C.16), в котором мы положим F=qE — my ф#, получим аналогичное уравнение для дрейфовой скорости ц отдельной частицы. В общем случае скорость и не удовлетворяет условию сохранения потока. Однако в наинизшем порядке по параметру е это условие выполняется, если пренебречь инерционным дрейфом и учесть, что rot (Л! v В) =0. Следовательно, в общем случае имеется некоторое «проскальзывание» частиц относительно магнитных силовых линий. Магнитное поле оказывается «вмороженным» в плазму только в низшем приближении по пара- 173 метру е. Ограничимся изучением наинизшего приближения по параметру е, когда и и v приблизительно равны и выполнены условия, приводящие к уравнению E.55). Подставляя div v из уравнения непрерывности E.17) в выражение E.75), получаем [105]: (|~ +"""?) Я = (^•№ + -f- (Yt +^V) « F-5) ИЛИ F.6) (i-+--')(f)-[(f)-' Введем смещение элемента жидкости § ^=(-|-+^)Т- F-7) Тогда уравнение F.6) после некоторых преобразовании можно переписать в виде [37] A+7') {f-[(f)'V?H- <6'8» Этот результат можно получить также из уравнения B.30), которое описывает изменение элемента длины dl, переносимого полем скоростей V/. Из уравнений F.3) и F.4) следует, что в нулевом порядке по параметру е, когда применима формула E.55), поля скоростей и и v сохраняют поток и силовую линию. Поэтому dT=Zfd/, dX=B0dl0, Vf=7^~u. F.9) На рис. 2.3 положительное направление элемента длины dl совпадает с направлением магнитного поля В. Рассмотрим теперь элемент объема длиной dl0 и поперечным сечением dSo = dOo/B0i магнитный поток через которое равен d<b0 (рис. 6.1). Пусть в этом элементе объема содержится некоторое число частиц. При движении частицы остаются внутри некоторого элемента объема, через который по-прежнему проходит тот же магнитный поток. За время dt частицы пройдут расстояние v dt и образуют новый элементарный объем с длиной 174 dl и поперечным сечением dS = dO0/B. Так как число частиц сохраняется, то dl dl0 . п — = nft —- = const. в ° в F.10) Комбинируя уравнения B.30), F.9) и F.10), в результате получаем в_ п Во п0 В№ dt. F.11) Как следует из уравнения F.7), смещение ?(р, t) определено таким образом, что вектор р — | в момент времени ^=0 описывает положение той частицы, которая в момент времени t находится в точке р. Если выбрать теперь смещение равным нулю (?= = 0), когда элементарный объем находится в точке р, то l(t = 0) = go = —vdt,причем вектор vdt будет иметь направление, показанное на рис. 6.1. Отсюда легко видеть, что уравнение F.11) эквивалентно выражению, которое получается в результате ', интегрирования уравнения F.8) [37]. Таким образом, мы имеем для всех движений, при которых выполняются условия сохранения потока и силовой линии, магнитное поле и плотность частиц связаны соотношениями F.8), F.10) и F.11). Этот результат можно также получить при помощи следующих рассуждений. В нулевом порядке по параметру е уравнение E.67) сводится к уравнению E.63) при условии, что выполнены предположения о тензоре давления, сделанные в связи с выражением E.55). Отметим, что l/qrotF = —dB/dt согласно урав- Рис 6.1. Перемещение элемента объема плазмы из положения с плотностью частиц п0 и радиусом-вектором р—vdt в положение с плотностью частиц п и радиусом-вектором р. 175 нениям B.37) и B.1). После некоторых векторных Преобразований уравнения E.33) получим dt В dt q \\В* ] ^ V \ B* )\ +7„ • vn + nB (^ -f) (-^L) - 0, F.12) где использовано выражение C.23) для скорости uF. Члены, включающие v^, приводят к эффектам продольной конвекции и продольного сжатия. Если течение несжимаемо вдоль магнитного поля В или уп не имеет компоненты вдоль В, то эти члены равны нулю. Ограничимся в дальнейшем рассмотрением случая v^ = 0 и изучим следующие типы движений в стационарном магнитном поле. 1. Предположим, что в области, где происходит движение частиц, электрическими токами можно пренебречь. Тогда rotB = 0 и уравнение F.12) равно (i+»r-4)(ik)=0' Ъ=°- <6ЛЗ) Это означает, что при движении со скоростью uFy пер пендикулярной магнитному полю 5, величина п/В2 остается постоянной. Таким образом, плотность п пропорциональна квадрату величины магнитного поля В. Это можно объяснить тем, что при движении частицы из области сильного поля В0 в область более слабого поля В\ как поперечное сечение dS, так и длина dl элементарного объема увеличиваются обратно пропорционально В, как показано на рис. 6.2, а. В соответствии с уравнением F.10) кривизна силовых линий магнитного поля приводит к тому, что элемент длины dl оказывается обратно пропорциональным величине магнитного поля В. 176 2. Если силовые линии магнитного поля прямые, то уравнение F.12) сводится к виду (?+*'-')(т)-0- »>°- <6-14) из которого следует, что теперь при движении сохраняется величина п/В. Это происходит потому, что в магнитном поле с прямыми силовыми лкниями длина dl элементарного объема не меняется (см. рис. 6.2). Этот Рис. 6.2. Расширение ионизованной материи, движущейся поперек неоднородного магнитного поля. Продольное движение отсутствует а — магнитное поле с искривленными силовыми линиями; б — магнитное поле с прямыми силовыми линиями. результат согласуется также с уравнением F.10). Отсюда следует, что в системе координат, движущейся со скоростью uFy число силовых линий, приходящихся на единицу поверхности поперечного сечения dS элементарного объема, изменяется пропорционально плотности частиц.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЛОТНОСТЬЮ ЧАСТИЦ И ВЕЛИЧИНОЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
