Определим плотность п(р, /) данного сорта частиц как функцию координат и времени +«> -^ — п = J J j7 (Р, a/, t) dwx dwy dw2f EЛ1) —oo где / — соответствующая функция распределения. Аналогично можно определить среднюю величину (или момент) произвольной функции х(р, и>, 0» умножая ее на функцию распредления и усредняя по пространству скоростей Х = —^ f f [lfdwxdwydwz. E.12) —00 Умножим каждый член уравнения E.9) на % и проинтегрируем по пространству скоростей: +оо ^ _ X $- dwxdwvdwz - — (пу) — и -^-, E.13) л dt х у dt v dt v ' Ш 144 J J J x (w • V) fdwxdwydw2 = d i v (a*x^) — nw- у x» E-14) — oo -^- (F -f </ay X • sjjdwxdwyidw2 = —oo = - ir v. K*4- <^x s) /J. EЛ 5) Уравнения E.13) — E.15) получаем в результате интегрирования по частям. При выводе уравнения E.15) предполагалось, что при |ш|->оо произведение %{F+ + qwXB)f стремится к нулю. Это предположение оказывается справедливым для всех функция распределения, имеющих физический смысл. Используя три последних выражения, получим следующее уравнение ¦Ж"(ях) + v-(nxw) — n [-gjr + йГ-vx + + -!-(? + W> X B)-v.x] = 0, E.16) справедливое, если столкновениями можно пренебречь. Кроме того, при выводе этого уравнения мы считали, что единственным членом в полной внешней силе, кото- —»¦ —*• рый зависит от скорости, является qwXB. Легко убедиться, что k-я компонента этой силы не зависит от Wk, так что дивергенция в пространстве скоростей от этого члена тождественно равна нулю. Если положить х=1> то получается уравнение непрерывности -^- + div(n5=0, E.17) Ot где средняя скорость v = w определена в соответствии с уравнением E.12). Если положить % = muk> то получается уравнение движения, которое выражает баланс импульса в направлении k: -T7(nmvk) + div (nmwip) — njjF + qvX tyk = 0- E.18) 145 Следует отметить, что в уравнении E.9), а также при выводе выражений E.13) — E.15) переменные (р, до, t) считались независимыми. Таким образом, dwk/dt=0 и (w-y)wk = Q. Так как F и В не^ зависят от до, то F=F и В=В. Введем отклонение до = до — v скорости до от ее среднего значения v. Из определения средней скорости следует, что щ=0. Теперь определим при помощи до тензор давления * ^ Ov*)» %jk = ttmwp)k, w = w — v. E.19) Уравнение E.18) перепишем в следующем виде: пт L^ + (?.y)J =n(f + q^XB) — div*, E.20) причем мы использовали уравнение непрерывности E.17). Рассмотрим важный частный случай, когда можно пренебречь недиагональными элементами тензора давления в системе координат, одна из осей которой направлена вдоль магнитного поля В. В этом случае давление анизотропно, причем его величина в направлении, параллельном магнитной силовой линии и перпендикулярном ей, равна соответственно /?ц и р±. Напишем тензор давления при помощи единичного вектора В = В/В, направленного вдоль магнитного поля [90, 91] *УА = р , B;Bk + рх (bjk - BjBk). E.21) Дивергенция этого тензора равна divir-B[(fi.V)P„ -f (Р„ -px)divB] + + [у -В (В.j)p± + (р„ -pj (fl-f) В. E.22) 146 Воспользовавшись тождеством В div В =— (В-у)В, а также выражениями для продольного и поперечного градиентов f„ --= В(В.у), vl = v-Vи. E-23) перепишем выражение для дивергенции в виде div* = fil Р, - Р" ~в Р± V\\B + Vj.Pl + (Pi -Р±) X х>» хч X(B-V)B. E.24) Первые два вектора в правой части этого выражения направлены вдоль магнитного поля В, а последние два, как легко видеть из уравнения C.21), перпендикулярны В. В частном случае изотропного давления Р{1=Р± и div тс =¦- ур, E.25) где р — скаляр. Обратимся теперь к уравнению сохранения энергии. Полагая в общем уравнении E.16) x=—mw2k, 'получим — . 4" (nmvl) + — div (nmxfkv) + — (nmU{k)) + 2 ot 2 ot + div (nmU(k) v) + div Qw + div \nmvkwkw) — — n(F+qvXB)-vk — nq{wXB)-wk = Q, E.26) где i/(fe)=— w2k обозначает тепловую энергию, приходящуюся на единицу массы, а вектор Qik) =—nmwlw E.27) 147 поток тепла, связанный со 'скоростью Wk^Wkk в направлении k. Шестой член в уравнении E.26) можно представить в виде div (nmvkwkw) = = div (vk • к) — vk div тг = те: yvk, E.28) где я: у обозначает произведение тензора давления E.19) на оператор v • Умножим теперь уравнение E.18) на Vk 'и «вычтем полученный результат из уравнения E.26). Тогда, используя выражение E.17) для уравнения непрерывности, получим уравнение ~-(nmUik)) + div(nmt/(fe)tO+ divQ(*> +v:vvk — ot — nq&kXw)-B = 0, E.29) которое представляет собой закон сохранения энергии, связанной с движением вдоль направления k. Для полной кинетической энергии ?/(попер) = — w2, приходящейся на единицу массы, получим при помощи выражения E.29) уравнение — (nmU{попер)) f div (w/i?/(nonep)T) + divQ + k:s;v=0, E.30) ot в котором используется выражение для вектора полного потока тепла Q «5= —nmxaflw. E.31) В частном случае, когда тензор давления характеризуется двумя скалярными величинами /?1( и р±, согласно формуле E.21), получим * '•VO* = (Р и - Р±) В (^*V) о* + Рх div "*• E-32> 148 Предположим далее, что состояние плазмы изменяется адиабатически, т. е. потоком тепла можно пренебречь. Нетрудно показать, что в этом случае уравнение E.30), выражающее сохранение полной тепловой энергии, принимает следующий вид: + -L(pl]+4p±)divli=0. E.33) В то же время, используя уравнение E.29) с wk = v^ — = B-vl{ и имея в виду, что В (В-у) i/^div v (|, мы получим уравнение сохранения тепловой энергии в продольном направлении (ж+^ч) Pi - ~2Р\\ ^(fi-V^-p, divT, E.34) которое, очевидно, следует также из уравнения E.33) при условии, что /7 ц и /?j_ не зависят друг от друга. Вычитая уравнение E.34) из уравнения E.33), получаем уравнение сохранения тепловой энергии в поперечном направлении Df+^)p±=р± * <* • ^ - 2р± div ^ E-35) Адиабатические соотношения E.34) и E.35) впервые получили Чу, Гольдбергер и Лоу [90]. Чепмен и Кау- линг [11], Маршал [92] и Кауфман [93] включили в гидродинамические уравнения члены, связанные с вязкостью, причем Кауфману [93] удалось найти физическую интерпретацию этих членов для движения отдельных частиц. Если частота столкновений между одинаковыми частицами становится значительно меньше соответствующей циклотронной частоты, то плазма в магнитном поле ведет себя как сильно анизотропная среда. Поэтому компоненты силы трения, перпендикулярные направлению сильного магнитного поля, значительно уменьшаются. В настоящей главе при выводе основных уравнений мы предполагали, что диссипативные эффекты, связан- 149 ные со столкновениями, очень малы, так что они не дают заметного вклада в уравнение E.16). Кроме того, необходимо считать, что средний свободный пробег частицы и среднее время между столкновениями малы по сравнению с* характерным масштабом изменения макроскопических величин в пространстве и времени. Если же эти условия не выполняются, то уравнение E.16) обычно неприменимо, а выражение для функции распределения становится тогда очень сложным. Лишь в некоторых частных случаях, например, когда свойства плазмы однородны вдоль силовых линий магнитного поля, можно пользоваться гидродинамическими уравнениями плазмы при описании движения, перпендикулярного направлению магнитных силовых линий [87, 94].
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Макроскопические законы сохранения» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
• sjjdwxdwyidw2 = 