Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Динаміка заряджених частинок

Определение адиабатической инвариантности

Одномерная задача сводится к уравнению
г + (о2(*)С = 0 D.62)
для осциллирующей системы. Координата Z>(t)
представляет собой отклонение от равновесия, а со @—мгновен-
121
ное значение частоты колебаний. Мы уже упоминали о
примере такого типа (см. гл. 2), когда частица
вращается в однородном магнитном поле, зависящем от
1 2
времени, причем со2= — u>g . Точно таким же уравнением
описывается произвольный гармонический осциллятор с
медленно меняющейся упругостью, например маятник,
подвешенный на нити, длина которой постепенно
меняется, а также продольные колебания частицы вдоль
оси системы с медленно меняющимся полем магнитных
пробок. Колебания частицы описываются при этом
уравнением D.6), в котором Ец = 0. Если магнитное поле
B(s) пропорционально s2 и, следовательно,
возвращающая сила — M(dB/ds) оказывается пропорциональной s
при М = const, то это уравнение совпадает с уравнением
D.62). При произвольной функциональной зависимости
B(s) уравнение D.6) аналогично уравнению
ангармонического осциллятора.
Для систем, которые можно описывать уравнением
D.62), введем понятие адиабатической инвариантности
подобно тому, как это было сделано Чандрасекаром [19].
Исследуем переход системы из начального состояния
((о(/)->соо при t-+—оо) в конечное состояние (со (/)-*<*>/
при fr-+ + oo). В этом случае будем считать, что
производные dva>/d<v исчезают для всех v^l, если /->±оо.
В этих двух предельных случаях со постоянно, и поэтому
для них нетрудно решить уравнение D.62):
С (t -* — сю) = Сю ехр (— ico0t) + a10 ехр (ЦД б3
С (/ -» -f оо) = Clf ехр (— ia>ft) + alf ехр (mft),
где Сю, Ci/, a10, #i/ — комплексные постоянные. Для
одномерного гармонического осциллятора смещение
задается величиной ?, а кинетическая и потенциальная
энергии определяются выражениями |?|2 и со2|?|2,
средние значения которых за период колебаний равны.
Таким образом, каждая из этих величин равна половине
полной энергии, причем последняя пропорциональна
со2<|?|2>. Адиабатический инвариант, равный
отношению энергии к частоте, пропорционален со<|?2|>.
Например, для продольных колебаний частицы между
двумя магнитными пробками, когда магнитное поле
пропорционально B(s) ~?2s2, отношение энергии к частоте
122
пропорционально t^ <и\ >. Здесь и{] =dt,ldt —
продольная скорость, а /ц —период продольных колебаний.
Поэтому рассматриваемое отношение пропорционально
также продольному инварианту /, определяемому
соотношением D.9), т. е. величине (о<|?|2>, так как о) =
= 2я//ц .Наконец, рассмотрим вращение частицы в
однородном магнитном поле, зависящем от времени.
Поперечное движение частицы можно описывать уравнением
D.63) для начального и конечного состояний (см. гл. 2)
Ci = х + iy = С exp [i (Ш + const)] (t -> ± со). D.64)
Таким образом, С\0, C\f и Яю, #i/ совпадают
соответственно с положением ведущего центра и с ларморовским
радиусом.
Пользуясь выводами гл. 2 и формулой D.64),
получим, что эквивалентный магнитный момент равен
отношению кинетической энергии ларморовского движения
к частоте, т. е.
М0 = -Л- (х* + у\ = -2- < | ;х | *>0 D.65)
2оH 2со0
в начальном состоянии. Аналогичное соотношение су
ществует и для конечного состояния. Напомним, что
|?i|2= |? + '*cd?|2 равно 4(о2)а20 и 4(ofa2lf соответственно в
начальном и конечном состояниях. Поэтому
A/со) < |?i|2> по существу совпадает с соа2, причем
ларморовский радиус а имеет смысл «среднего
смещения» частицы по отношению к центру вращения. Если
пренебречь движением центра вращения, положив в
уравнении D.63) Сю = Си = Оу то, очевидно, A/со) < |?i|2>
станет просто равно величине со<;|?|2> для
вращающейся частицы.
Во всех приведенных примерах выражения
А=е«/<М«>,-ч~ иА=1/-/<'^!2>^ D.б6)
< I С | ¦>,_.. 1/о>0< | d | 2>^_оо
служат мерой отклонения от адиабатической
инвариантности. Если первое выражение D.66) подходит для
изучения простого гармонического осциллятора, то послед-
123
нее имеет более удобную форму для изучения движения
заряженных частиц в магнитном поле. Специфические
особенности этого движения рассмотрим в разделах 2.2
и 2.3.
Величина Л зависит от того, как частота со(/)
изменяется от значения соо до со/. Предположим, что
производная du>Jdt ограничена, и определим следующее
характерное время:
= *«,. D.67)
doy/dt
Тогда точная формулировка теоремы об
адиабатической инвариантности сведется к утверждению, что Л
стремится к единице, когда /@ -^оо, т. е. когда изменение
внешних параметров становится бесконечно медленным.
Это утверждение не накладывает никаких ограничений
на отношение частот (D//W Однако при этом различают
два случая.
1. Относительное изменение частоты при таком
переходе мало, так что можно ввести величину
1
8 = 1Г
*>/ — <»>о
«1. D.68)
Если к тому же можно показать, что Л=1 + 0(б2) при
/@ -^оо, то имеет место адиабатическая инвариантность
«в малом».
2. Если же Л->1 при /ш—>-оо, но нет никаких
ограничений на отношение со//соо, то имеет место
адиабатическая инвариантность «в большом». Это же можно
сформулировать несколько по-другому. Пусть со = (о(е/)
представляет собой зависящее от времени однопарамет-
рическое семейство, которое удовлетворяет требованиям,
перечисленным в начале этого параграфа.
Тогда величина Л зависит от е, и адиабатическая
инвариантность в большом имеет место в том случае,
когда Л(соо, со/, е/)-^1 независимо от со0 и со/ при е->0.
Нетрудно показать, что для системы, которая
описывается уравнением D.62), существует адиабатическая
инвариантность в малом. Пусть
/1={юЛ, <«! = ©?«, D.69)
124
тогда уравнение D.62) примет вид:
^!L + ; = „/_L._^_\^. D.70)
dt\ V «• dtj dtx
Это уравнение можно решить методом
последовательных приближений, т. е. сначала решить уравнение
без правой части, а затем найти поправку к этому
решению, связанную с наличием малой правой части.
Выберем ? = const -exp(jYi) в качестве решения
уравнения D.70) при t\-+—оо, когда малыми членами в правой
части уравнения можно пренебречь. Затем подставим
это решение в правую часть уравнения D.70) и из
полученного уравнения найдем такое решение, которое
стремится к exp(^i), когда t\->—оо и со-коо:
С = A - 4- lg —) ехр («0 + Р (h) ехр (- itx). D.71)
При этом мы ввели обозначение
Р (h) =4" f — • ^т ехр Bit[) dt\. D.72)
Усредняя |?|2 по всем возможным начальным фазам,
получаем в конечном состоянии, когда /i->+oo, следующее
соотношение:
limjco< | С | •>} =^\-y^J+
+ »f\P (oo)\*t D.73)
где введено обозначение P(oo) =P(ti = +oo). Теперь из
первого соотношения D.66) следует
<*>/ / 1 Oif \ 2 , (i)f
л—^Ь-т1*-^) +^7 1р(°°I2' <4-74>
Если полное изменение частоты бсо = сэ/ — (оо мало,
то, пользуясь определением б из условия D.68), получим
соотношения
О [(адJ] =0(§2)
125
и
А = 1 + 0(б2) + -^ | Р(оо) | 2. D.75)
В предельном случае бесконечно медленного
изменения со(/) величина ?ш, определенная выражением D.67),
стремится к нулю. В этом случае Р(оо) обращается в
нуль, и из соотношения D.75) следует, что существует
адиабатическая инвариантность в малом.
Труднее установить адиабатическую инвариантность
в большом для этой системы. После введения новой
переменной ?2= V cog уравнение D.70) примет следую-
щий вид
dK2
Л?
С2^-ад2, D.76)
где
^|) = -г(--^)-т--^г- D-77)
Заметим, что G{ определяется полным изменением о>(/)
при переходе из начального состояния в конечное и
является величиной второго порядка малости по
A/ю) (dco/d/i) в отличие от правой части уравнение
D.70).
Аналогично предыдущему [см. уравнение D.70)]
решим уравнение D.67) методом последовательных
приближений.
Решение этого уравнения, которое при /-> — оо
стремится к exp(*7i), имеет вид
С2 == ехр (Цг) + — Ц exp (ih) j Gi (t\) dt[ — exp (— itx) X
X J1G1(ri)expB«1,)*i}. D.78)
— oo J
Для случая медленного изменения параметров введем
новую независимую переменную et\ = x\ вместо tx и
исследуем полученное решение при е->0. В конечном
126
состоянии ?г-> + оо решение D.78) принимает
следующий вид:
С2 (+ оо) = ехр (Цх) + — is exp (itx) Г Gx (zx) dxx —
— oo
+ее
- -L и exp (- it,) j Gx (tx) exp (-^-) dxu D.79)
где Gi(n) совпадает с определенной выше функцией
D.77), в которой t\ заменено ть Если входящие в
выражение D.79) интегралы существуют, то в конечном
состоянии при /-^ + оо ?2-^exp(*7i) при е-^0. Таким
образом, при е-^0 величина Л((оо, со/, et) стремится к
единице, откуда и следует адиабатическая инвариантность
в большом.
Это доказательство позволяет установить
адиабатическую инвариантность в большом, однако не дает
точного выражения для поправочного члена при е-^0.
Это связано с тем, что в данном случае метод
последовательных приближений не обеспечивает равномерной
сходимости решения D.78) во всей области изменения t\
от —оо до +оо. В разделе 2.3 мы еще вернемся к оценке
величины поправочного члена для одного частного
случая.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Определение адиабатической инвариантности» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»