Прежде чем перейти к детальному анализу, попытаемся дать простую физическую интерпретацию трем упомянутым адиабатическим инвариантам. Согласно уравнениям C.6) и C.9), в первом приближении частица вращается по ларморовской окружности со скоростью W и дрейфует как вдоль, так и поперек магнитного поля со скоростями и ц и и± соответственно. Положение частицы задается вектором р, а центр вращения — вектором С; тогда а=р—С представляет собой вектор, связанный с ларморовским вращением. Существуют, по крайней мере, три периодических движения, которые частица может одновременно совершать в магнитном поле, приведенном на рис. 4.1. Во-первых, как показано на рис. 4.1, а, частица вращается вокруг силовых линий со скоростью W и с циклотронным периодом tg=2n/\(x>g\. tBo-вторых, она может осциллировать между двумя магнитными зеркалами со скоростью и и и с периодом /у (см. рис. 4.1,6). Наконец, в магнитном поле соответствующей конфигурации траектория поперечного дрейфа может оказаться замкнутой. При этом частица будет вращаться вокруг всей конфигурации с дрейфовой скоростью ы± и с периодом t± (см. рис. 4.1,0). Обычно Из простых физических соображений следует, что с этими тремя движениями связаны три адиабатических инварианта. Движение, изображенное на рис. 4.1, а, аналогично движению точечной массы, прикрепленной к проволоке. Эта масса вращается вокруг оси на расстоянии, равном радиусу вращения а. Натяжение проволоки соответствует силе, создаваемой магнитным полем. Пусть радиус а медленно изменяется, а диссипация в системе отсутствует. Тогда из закона 87 сохранения момента количества движения следует, что mWa = m\Vtg/2n должно быть постоянным. Следовательно, на основании уравнений B.81) и B.83) можно утверждать, что эквивалентный момент М также должен оставаться постоянным. Термодинамическое рассмотрение приводит к такому же выводу. Действительно, пусть W описывает тепловое движение, соответствующее температуре Рис. 4.1. Периодические движения заряженной частицы в магнитном поле: а — вращение вокруг силовых линий со скоростью № и циклотронным периодом t =2п/\ о) |; б — колебания вдоль силовых линий между магнитными зеркалами со скоростью и и периодом / и ; в — дрейф поперек силовых линий вокруг конфигурации как целого со скоростью м_|_и периодом/^. T=mW2/2k газа частиц, имеющего плотность п. В отсутствие диссипации медленное изменение радиуса соответствует двумерному адиабатическому сжатию или расширению. При этом плотность п пропорциональна как 1/а2, так и Т. Это означает, что W2/B и М должны быть постоянными. Можно, наконец, предположить, что вместо вращающейся частицы имеется гибкое сверхпроводящее кольцо с током, которое охватывает магнитный поток, равный па2В. Когда радиус а и магнитное поле В медленно изменяются во времени, индуцированные электрические токи сохраняют конечное значение только 88 в том случае, если электродвижущая сила обращается в нуль, а а2В и М остаются неизменными. В разделе 1.2 этой главы доказывается постоянство М в первом порядке теории возмущений. Далее, когда поперечный дрейф от одной силовой линии к другой оказывается медленным по сравнению с продольными колебаниями, движение, изображенное па рис. 4.1 б, напоминает движение упругого мяча, который попеременно отскакивает от двух движущихся навстречу друг другу поршней. Такими поршнями служат в данном случае магнитные пробки. Их движение возникает благодаря изменениям магнитного поля в пространстве и во времени, которые воспринимаются дрейфующей и осциллирующей частицей. Баланс импульса, как видно из рис. 4.4,6, приводит к постоянству величины ы?|*||- Этого следовало также ожидать из термодинамических соображений. Действительно, рассмотрим одномерное сжатие или расширение газа в направлении силовых линий магнитного поля. Если температуру положить равной T=muyk, то адиаба- тичность изменения состояния означает, что плотность должна быть пропорциональной как (ин ^ц)-1, так и Т1/*. Отсюда следует, что величина и* /|( =и||(а|, /|( ) остается постоянной (и{1 t^ —удвоенное расстояние между магнитными зеркалами, см. рис. 4.4). Введем наконец для движения, схематически изображенного на рис. 4.1,0, цилиндрическую систему координат (г, ф, z) с осью г, направленной вдоль оси симметрии. Допустим для простоты, что частица не имеет компоненты скорости вдоль силовых линий магнитного поля и движется в «экваториальной» плоскости так, что все магнитные силовые линии параллельны оси г. Тогда в отсутствие поля внешних сил и при В = rot А радиальная дрейфовая скорость в нулевом приближении оказывается равной ur~ — (l/B)(dA?/dt). Втом случае когда магнитное поле изменяется во времени, поверх* ности постоянного потока Ф=2кгА9 = const движутся в радиальном направлении экваториальной плоскости и (——\-иг—\ Ф обращается в нуль. Это означает, что поток Ф, охватываемый траекторией частицы, для достаточно медленных изменений поля оказывается по- 69 стоянным, при этом траектория дрейфового движения ведет себя подобно гибкому сверхпроводнику кольцеобразной формы, радиус которого изменяется таким образом, чтобы индуцированная электродвижущая сила по периметру этого кольца равнялась нулю. Для более подробного анализа воспользуемся интегралами действия, рассмотренными в гл. 2. В случаях, изображенных на рис. 4.1, полное движение частицы имеет три степени свободны и представляет собой вращение со скоростью W по ларморовской окружности, а также продольное и поперечное движения со скоростями ti и и и± соответственно. В низшем порядке теории возмущений эти движения описываются также каноническими координатами (q3, Рз), (е<7г, р2) и (е<7ь гр\)у введенными в гл. 3. В первую очередь следует усреднить гамильтониан по быстрым вращениям частицы. В результате получаем гамильтониан, описывающий движение частицы с двумя степенями свободы, которые соответствуют продольному и поперечному дрейфам ведущего центра, а магнитный момент М будет входить в гамильтониан как параметр. Следующий этап — усреднение по продольному движению этой системы. При этом получаем новую систему, обладающую гамильтонианом с одной степенью свободы. Он описывает средний поперечный дрейф ведущего центра и содержит в качестве параметров М и /. И, наконец, можно усреднить по поперечному дрейфу вокруг конфигурации (см. рис. 4.1, в). В этом случае константой движения оказывается магнитный поток Ф, охватываемый траекторией этого дрейфа. Рассмотрим, во-первых, полную скорость w = u-\-W частицы в электромагнитном поле произвольной формы. Обобщенный импульс B.61) можно записать в виде ~p = m& + W)+qA. D.1) Рассматриваемое движение является почти периодическим и может быть изучено при помощи метода, развитого Крускалом [45, 46] и описанного в гл. 2. Что касается вращения, то как показано в гл. 2, следует рассматривать обобщенные импульсы и пространственные 90 координаты. Эти координаты одновременно с периодической временной зависимостью, задаваемой функцией Ф@» имеют явную медленную зависимость от времени, характерный временной масштаб которой не соизмерим с периодами системы. Функция д, как следует из уравнений C.6) и C.37), связана с частотой вращения. Временную зависимость можно выбрать в виде B.64) с Н=Ф, поскольку, как показали Берковиц и Гарднер [70], точное решение уравнения движения можно выразить при помощи разложения C.6). Следовательно, интеграл действия B.71) можно представить в виде + и) + qA]t-^<jC+a)tM - const, D.2) = §[rn(W где W~da/dt, u—dC/dt. Время t можно считать постоянным всюду, где оно встречается явно. При этом следует отметить, что «и Сне зависят от Ф. Оценим теперь интеграл действия D.2) с точностью до членов первого порядка по параметру е. Так как величины и и А незначительно изменяются за период tg, получим J* =фт u?J?fL db^m§Wda = m\W4t. D.3) о Это непосредственно следует из соотношения da = = ((9a/5d)rfO, в котором время / следует считать постоянным всюду, где оно встречается явно. Воспользовавшись тем, что W=da/dt и W2 мало изменяется за один ларморовский период, получим J*xmW2tg^ const, D.4) где период обращения частицы по ларморовской орбите равен tg=2nm/\q\B. Воспользовавшись определением эквивалентного магнитного момента M = mW2/2B, нетрудно убедиться, что при движении частицы М оказывается приблизительно постоянным М ж AL j * ~ Ж WH? ж const. D.5) 91 Приведенное выше доказательство постоянства величины М основано на исследовании истинной траектории движения частицы и тех осцилляции, которые возникают при ларморовском вращении частицы. Можно было бы попытаться развить аналогичный подход для продольных колебаний частицы, среднее движение которой показано на рис. 4.1,6. Однако в этом случае такой подход не имеет надежного обоснования. Для того чтобы можно было изучать такое движение при помощи интеграла действия в форме B.71), нужно предположить, что в теперь связана с частотой периодического продольного движения Оц = 2я/*ц. Однако в отличие от исследованного ранее ларморовского вращения частицы при продольном движении нельзя пользоваться разложением по величине Оц, которое аналогично разложению C.6) относительно величины д. Предположим [77], что вращающаяся частица будет двигаться взад и вперед вдоль магнитной силовой линии, возвращаясь после одного «периода» t\\ почти к своему первоначальному состоянию. Другими словами, предположим, что ларморовский радиус и период обращения по ларморов- ской орбите очень малы по сравнению с характерными масштабами изменения электромагнитного поля в пространстве и времени. Для этого требуется также, чтобы смещение частицы поперек магнитного поля за время /ц было достаточно мало. В частности, расстояние между двумя положениями точки поворота, в которых частица оказывается через время /ц, должно быть порядка ларморовского радиуса. Это означает, что поперечная компонента F± силового поля должна быть величиной первого порядка по параметру е [68]. Если же она будет величиной нулевого порядка, то частица, двигаясь со скоростью дрейфа C.23), за время t\\ настолько сместится поперек магнитных силовых линий, что предположение о периодичности продольного движения будет несправедливо. Далее следует отметить, что при рассмотрении инвариантности магнитного момента можно было воспользоваться выражением для полного интеграла действия J* в виде B.71). Для изучения продольного инварианта такой подход неприменим, так как этот инвариант соответствует только одному члену суммы B.71). Рассмотрим теперь уравнение для продольного дрейфового 92 движения. Воспользовавшись соотношением C.17), получим m^-B^qEt-M^B. D.6) Здесь продольное электрическое поле ?ц определяется из уравнения B.24). В рассматриваемых условиях уравнение D.6) описывает одномерное движение. Выражение для соответствующего гамильтониана в первом порядке по параметру е можно получить из формул C.60) — C.63). Для слабого электрического поля и для достаточно малых изменений магнитного поля [74] это выражение равно #и -gf + qt^ + Y™2* +мв- D-7) Здесь, в отличие от выражений C.52) и C.53) вместо переменных (ер, et) мы ввели независимые переменные (р, /) и вернулись к переменным аир, причем для простоты изложения в правой части уравнения опустили гравитационный потенциал <pg. Для справедливости формул D.6) и D.7) необходимо, чтобы поле поперечных сил F± было величиной первого, а не нулевого порядка малости по параметру е. Если бы это поле было величиной нулевого порядка, то в выражениях D.6) и D.7) добавился бы вклад от скорости поперечного дрейфа Еу^В/В2. iB этом случае продольное движение уже нельзя отделить от поперечного и приведенное выше одномерное уравнение для продольного движения оказывается несправедливым. Из формул B.24), D.6) и D.7) следует, что в первом порядке по параметру е продольное движение соответствует одномерной системе с каноническими координатами 5 и pll=mull=m(ds/dt) при условии, что величину М можно считать постоянной. При этом MB(s) играет роль потенциальной энергии. Из выражений D.6), B.24) и D.7), видно, что при наличии продольных колебаний величина Н{{ та 2 должна иметь минимум на произвольной магнитной 93 силовой линии в некоторой точке s. Определим интеграл действия для продольного движения A -y=№ii~^~] d&« «гофи,^»const, D.8) который называют продольным адиабатическим инвариантом. Здесь продольная скорость Иц, определяемая из соотношения и^ =ds/dty может иметь любой знак. Формулу D.8) можно переписать также в следующем виде: J=jp{lds = m§ и* df = m<tt2B >/ц = const, D.9) о где <и\ >— среднее знаечние и\ за период /(|. Заметим, что 5 и р у связаны с обобщенными координатами q2 и р2, введенными в гл. 3. При выводе уравнений для дрейфа ведущего центра частицы мы выделили из полной скорости частицы скорость вращения частицы по ларморовской орбите. Теперь попытаемся выделить продольные колебания из полного дрейфа ведущего центра. В результате получим уравнение для среднего дрейфа ведущего центра поперек магнитных силовых линий. Для этого выразим полную производную от скорости по времени в уравнении движения C.16) через продольную к и и поперечную и± скорости: du dt Г д _ ^ ^^ ^ ^ -* + + [^ + K-v)^] + [(^i,-v)^+K^^]- DЛ°) Первый и последний члены в первых квадратных скобках уравнения D.10) равны левой части уравнения D.6). Усредним уравнение движения C.16) по продольному периоду /ц, подставив в него предварительно выражение D.10). Частица будет двигаться почти вдоль некоторой магнитной силовой линии в течение промежутка f Ц. При этом за один период частица дважды пройдет вблизи любой точки этой силовой линии. Сле- 94 довательно, продольные скорости частицы и^ для двух последовательных прохождений вблизи любой точки равны по величине и противоположны по направлению. Далее, поперечная скорость и± по предположению мала и почти постоянна вблизи любой точки магнитной силовой линии. Следовательно, среднее значение последней квадратной скобки в уравнении D.10) приближенно можно считать равным нулю. Поэтому, согласно выражениям C.16), D.6) и D.10), уравнение движения для среднего дрейфа поперек магнитных силовых линий можно записать в виде = д<Е±+'й±ХВ> — <Щ±В>. D.11) Сравним теперь уравнения B.36), C.16) и D.11). Уравнение движения ведущего центра C.16) получается из точного уравнения движения B.36) усреднением по ларморовскому вращению частицы с периодом tg. При этом возникает дополнительная средняя сила, — М уВ, которая представляет собой суммарный результат всех вкладов, возникающих за один период ларморовского вращения частицы. Аналогично, усредняя по периоду продольных колебаний i ^ уравнение движения C.16), можно получить выражение D.11). В этом случае в уравнении для среднего поперечного дрейфового движения D.11) возникает дополнительная средняя сила — т \и2ц\Ву)В/. Это по существу центробежная сила, обусловленная кривизной магнитных силовых линий, которая действует на частицу в среднем за период t\\. Так как эта сила пропорциональна и^ и получается в результате усреднения по периоду продольных колебаний /fl> она должна быть непосредственно связана с продольным инвариантом D.9). Аналогичный вид имеют слагаемые, содержащие и* и М в уравнении D.11); при этом первый член пропорционален отношению ufi к радиусу кривизны магнитного поля, а последний — 95 отношению W2 к характерному поперечному размеру того же магнитного поля. Так как изменения электрических и магнитных полей, действующих на частицу при вращении по лармо- ровской орбите, достаточно малы, то в уравнение C.16) можно подставить значения этих полей в точке нахождения ведущего центра. К сожалению, усреднение по периоду продольных колебаний t^ в уравнении D.11) следует производить вдоль магнитной силовой линии между двумя точками отражения, т. е. на длине, которая сравнима с характерными размерами электрического и магнитного полей. Поэтому уравнение D.11) непригодно для точного рассмотрения поперечного дрейфа частиц с одной магнитной силовой линии на другую. Оно дает лишь грубую информацию о том, как происходит усредненное поперечное дрейфовое движение. При более строгом подходе к изучению усредненного дрейфового движения с одной магнитной силовой линии на другую следует применять канонические уравнения, в которых используются координаты магнитного поля аир. Настоящее рассмотрение показывает, что в более строгой теории в качестве параметров должны входить величины М и /. Действительно, в дальнейшем будет показано, что такая каноническая теория может быть развита в том случае, если величины М и / являются адиабатическими инвариантами. Как будет показано в разделе 1.5, усредненное поперечное дрейфовое движение вокруг конфигураций, приведенных на рис. 4.1, в и 4.6, может оказаться приблизительно периодичным. В этом случае частица, совершив за время tx один полный оборот вокруг конфигурации, оказывается вблизи своего первоначального положения. При этом в низшем порядке по параметру е усредненное поперечное дрейфовое движение можно считать одномерным и описывать при помощи канонических переменных a=e/?i и P = e*7i. При этом соответствующий интеграл действия B.71) равен /, =$ adp =§ А*7=г= Ф^ const D.12) согласно уравнению B.21) и с калибровкой у х=0- Это означает, что если частица периодически вращается % вокруг конфигурации со скоростью u±t то охватываемый ею за период обращения tx магнитный поток Ф можно считать постоянным при условии достаточно медленного изменения магнитного поля в течение всего периода обращения t±. Это означает, что условие постоянства Ф более жесткое, чем условие постоянства /. Рассмотрим поперечное дрейфовое движение со скоростью и± C.24) в отсутствие продольных движений и поля внешних сил для симметричной пробочной конфигурации, приведенной на рис. 4.1,0. Так как М — постоянная величина, то изменение и± пропорционально (дВ/дг)/В. Рассмотрим частный случай, когда величину магнитного поля вдоль траектории частицы можно аппроксимировать выражением B(r, t)^B(r0. t)(r0/r)c\ где в момент времени t = 0r==r0. Здесь С\ — постоянная величина, не равная нулю. В этом случае (dB/dr)/B и поперечная скорость дрейфа и± оказываются пропорциональными 1/г, и поэтому <ul>t±^ const. D.13) Для слабо асимметричного магнитного поля периметр траектории и поперечная скорость дрейфа и± немного изменяются по сравнению со случаем, приведенным на рис. 4.1, е. Теперь формулой D.13) можно пользоваться лишь для грубых оценок.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Общее рассмотрение» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
