Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Динаміка заряджених частинок

Дрейфовая теория в первом приближении по параметру

В первом приближении можно пренебречь
эффектами высшего порядка и уравнение движения ведущего
центра записать на основании интуитивных
соображений. Приближения, которые используются при этом,
будут обоснованы в разделе 1.3. Введем, согласно
уравнению C.6), следующие обозначения:
и= — 9 W- — 9 w^H+W. C.9)
dt dt ^ v '
Здесь полная скорость частицы w разделена на две
составляющие: скорость ведущего центра и и скорость
вращения W (ларморовское движение). В первом
приближении вектор скорости ларморовского движения
перпендикулярен В. Подставляя в уравнение C.3)
обозначения C.9), получаем
m— — Fc— диХ Bc — qW X ДВ-?^Х ДЯ+
dt
Выражения
+ qW Х% — т— + Д^Г (ЗЛО)
Afi = S(p)-~Bc^(a.V)Bc,
Д?=?@-?с«(а.у№ C.11)
58
дают отклонения В и F от значений Вс и Fc в точке,
где находится мгновенный центр вращения, причем эти
отклонения выражаются через производные, взятые в
той же точке. Величина этих отклонений определяется
изменением поля на протяжении ларморовского
радиуса а.
Изменение В и влияние F слабо возмущают
вращение. Поэтому осциллирующее движение в первом
приближении можно описать выражениями B.80) — B.82)
для а и W в однородном магнитном поле. Тогда
второй и третий члены в правой части уравнения C.10)
почти взаихмно уничтожаются. При этом их разность
оказывается равной малой осциллирующей величине,
в которую вносят вклад как оставшиеся слагаемые в
правой части, так и последнее слагаемое в левой части
уравнения C.10).
Фактически здесь не потребуется детального
анализа этих осцилляции, поскольку главным образом нас
будет интересовать траектория частицы, усредненная
по одному циклотронному периоду 2я/<*>?. Поэтому
умножим равенство C.10) на (cog/2n)dt и
проинтегрируем по одному циклотронному периоду. Среднее
значение любой величины % по одному циклотронному
периоду обозначим <х>- Тогда уравнение C.10)
принимает следующий вид:
т^7Г = ~Fc + quX Bcbq<WX ДВ>. C.12)
at
При выводе этого результата мы воспользовались
тем, что величина dC/dt=utt<u> медленно меняется
на протяжении циклотронного периода, а средние зна-
—> —*¦
чения компонент а и W в этом приближении равны
нулю: <afe>=0, <.Wk>=0. Если пренебречь
последним членом в уравнении C.12), который связан с
неоднородностью магнитного поля, то полученное уравнение
на первый взгляд оказывается совершенно
эквивалентным уравнению движения B.36). Однако уравнение
B.36) описывает истинное осциллирующее движение
частицы, имеющей скорость wy тогда как выражение
C.12)—движение ведущего центра частицы, причем
59
скорость ведущего центра и незначительно изменяется
за время ларморовского периода.
Дадим теперь наглядную физическую
интерпретацию последнему члену в уравнении C.12), который
описывает влияние неоднородности магнитного поля на
дрейфовое движение. Если перейти к системе
координат, движущейся вместе с частицей, то W и АВ будут
осциллировать с циклотронной
частотой, а их векторное
произведение, усредненное за один
циклотронный период, даст отличный от
нуля вклад. В том случае, когда
градиент модуля напряженности
магнитного поля имеет не равную
нулю проекцию на направление
магнитного поля В, силовые линии
будут сходящимися и, как
показано на рис. 3.1, возникает сила
qWxAB. Эта сила, стремящаяся
вытолкнуть частицы из областей с
большой напряженностью
магнитного поля, лежит в основе так
называемого магнитного «зеркала».
Она связана также с
диамагнитными свойствами ионизованного
газа.
Если градиент магнитного поля
имеет компоненту, направленную
поперек В, то сила qWX&B осциллирует на
протяжении циклотронного периода, а ее среднее значение для
положительного заряда частицы на рис. 3.2, а
направлено вверх. По аналогии с электрическим дрейфом (см.
рис. 2.4, в) сила, обусловленная неоднородностью
магнитного поля, приводит к дрейфовому движению,
которое на рис. 3.2,6 направлено вправо. Происхождение
этого дрейфа разъясняется на рис. 3.2, б. Поскольку
полная скорость w сохраняет постоянную величину, а
радиус кривизны в нижней части траектории частицы,
где поле сильнее, меньше, чем в верхней, то частица
движется вправо. При этом ионы и электроны
дрейфуют в противоположных направлениях.
Рис. 3.1. Силы,
действующие на
частицу, которая
движется в неоднородном
магнитном поле с
градиентом у В,
направленным вдоль В.
60
Согласно уравнениям B.80) и B.82), а и W в
первом приближении перпендикулярны В. Введем
локальную прямоугольную систему координат с осью г,
направленной вдоль В. Тогда уравнения B.82) и C.11)
принимают следующий вид:
W X АВ = <*g(aXB) X [(<Гу)вГ«
«<*>*[— ах(а-ч)Вж, —ау(а.у)ВЖ9 ау(а.у)Ву +
+ ах(а-у)Вх]. C.13)
Г
© 0 Q J 0 0 0 ©О © © © © ©
0
0 0 0 0 0 0
ТтТЮППР
0 О 00000 0000000000000
В В
в
Рис. 3.2. Силы, действующие на частицу, когда V Я
перпендикулярен В:
а — неоднородность магнитного поля АВ порождает среднюю силу,
направленную вверх в случае положительных ионов; б — дрейфовое движение,
обусловленное неоднородностью, имеет противоположные направления для ионов и
электронов.
Здесь индекс С опущен, поскольку |Д?|/?<с1. Это
означает, что первую 'производную от В мы считаем
постоянной на протяжении ларморавского радиуса и
пренебрегаем членами второго порядка в разложении
C.7). Заметим, что усреднение по циклотронному
периоду согласно выражению B.80), приводит к
соотношениям
<aray> = 0, <fl2> = <aJ>= — a' w%
* *?
61
Поэтому
<W X АВ> = - J^- ffi„ C.14)
где Bx и 5У выражены через Bz при /помощи уравнения
div В = 0. Тогда
Vsz= -Щ-УВг = g; ~V#. C.15)
Это справедливо потому, что Вх и Ву много меньше В
и кривизной магнитного поля можно пренебречь. В
соответствии с определением B.83) введем модуль
эквивалентного магнитного момента M = mW2/2B. Согласно
выражениям C.14) и C.15), уравнение движения C.12)
ведущего центра принимает следующий вид
m-^r=~F + q7xB-MyB, М = -^-, C.16)
где индекс С также опущен, поскольку F и В мало
меняются на протяжении ларморовского радиуса.
Заметим, что полная производная по времени в левой
части уравнения C.16) вычисляется в системе
координат, движущейся вместе с частицей. Однако, поскольку
изменения всех величин на длине ларморовского
радиуса частицы очень малы, эта производная
приблизительно равна производной в системе координат,
движущейся вместе с ведущим центром. В разделе 1.3
уравнение -C.16) будет получено еще раз при помощи
разложения C.6), и мы убедимся, что строгое
рассмотрение приводит к результату C.40), в точности
совпадающему с полученным здесь.
Уравнение C.16) означает, что усредненное
движение можно представить как движение некоторой
эквивалентной частицы, имеющей скорость, равную скорости
ведущего центра и, и эквивалентный магнитный момент
М = —MB/В. Разложим это движение на компоненты
вдоль и поперек магнитного поля. Умножая скалярно
62
уравнение C.16) на единичный вектор В = В/ВУ
получаем уравнение для продольного движения
тВ. J!L =~FB — M(fi.y)B.
dt v v
C.17)
Выражение для поперечной дрейфовой 'скорости можно
получить умножая векторно уравнение C.16) на B/qB2
X=(?-MvB-mf)
X
qB*
C.18)
Заключенный в скобки множитель в правой части этого
уравнения содержит ускорение, часть которого
обусловлена продольным
дрейфом и у =и—и±. Этот _ _ db=dunH
дрейф создается
центробежной силой, которая
определяется (рис. 3.3)
радиусом кривизны
магнитных силовых линий.
При этом находим
ускорение
B=B„*tfB
-г -г X
du
dt
= w„
du
~~dT
+
Рис. 3.3. В магнитном поле В с
радиусом кривизны R продольное
-^ dua
du
II dt
/о |Q\ дрейфовое движение Иц лриво-
dt ' Дит к центробежному ускорению.
За интервал времени dt частица проходит расстояние
\R\dQ = u{{dt «вдоль магнитной силовой линии от точки,
где напряженность тюля равна В0у к точке с
напряженностью В. Тогда единичный вектор мц=мц/а|
изменится на величину
<*?„ =t{l-?ll0=$-% = (\R\dQ-B.v)B^
= ul{(B-v)Hdt. C.20)
63
Пользуясь хорошо известным векторным тождеством,
получаем
^ -*¦ ^ ^ ^ вТ, В — Вх тоСв
(fi.vM = -fiXrotfi = -^ 55 . C.21)
Подставляя «выражения C.19) — C.21) в равенство
C.18), 'имеем
\=[f-m(i+*l)vB.
du
В
X
BМи\ \ —
+(^)(го,в)- <з'22)
qB2 ' \ W2qB
где, согласно основным допущениям этого параграфа,
исключенавозможность предельного перехода В=0.
Инерционный член в квадратных скобках можно
определить, применяя к уравнению C.22) метод
последовательных приближений. Если скорость,
определяемую выражением C.25), обозначить иту то метод
последовательных приближений будет состоять в том,
—^ —¦*¦
что выражение для и±—иш подставляется в правую
часть уравнения C.22). Повторяя последовательно эту
процедуру, получаем все более точные приближения
для скорости и±.
В уравнении C.22) содержатся следующие типы
поперечных дрейфовых движений:
~** ~Р х В
Up = (дрейф под действием внешней силы), C.23)
qB2
-j Гмр+^/г.) jg. ^ (градИе„тный
3 L яй2 J v дрейф), v ;
m \qB2]dt
(поперечный инерционный дрейф), C.25)
-*¦ Е X В
иЕ — (электрический дрейф), C.26)
В2
64
(поляризационный дрейф). C.27)
Природа электрического дрейфа и дрейфа в ноле
внешних сил уже обсуждалась в гл. 2. Наглядное
представление о таких дрейфовых движениях можно получить
из рис. 2.4, б. Происхождение электрического дрейфа
можно объяснить следующим образом. Всегда
существует система координат, которая движется относи-
—*¦
тельно лабораторной системы со скоростью иЕ. В этой
системе координат электрическое поле оказывается
равным нулю. Заметим, что электрический дрейф в
отличие от гравитационного не зависит от знака заряда
частицы.
В том случае когда поле сил или электрическое
поле обусловлено только градиентами потенциала,
расположенными в плоскости, перпендикулярной В,
дрейфовые движения будут происходить по соответствующим
эквипотенциальным поверхностям.
Градиентный дрейф, обусловленный
неоднородностью магнитного поля, направлен, как легко видеть
из уравнения C.24), вдоль поверхностей В = const.
Дрейфовое движение, обусловленное неоднородностью
магнитного поля, можно разделить на две части.
Дрейф, определяемый первым слагаемым в уравнении
C.24), возникает вследствие влияния неоднородности
магнитного поля на ларморовское вращение. В гл. 4
показано, что эквивалентный магнитный момент М есть
приближенный интеграл движения; поэтому первая
часть градиентного дрейфа полностью определяется
значениями В и W. Влияние кривизны силовых линий
магнитного поля проявляется как во второй части
градиентного дрейфа, так и в последнем члене
уравнения C.22). Отметим, что влияние кривизны магнитного
поля на движение частицы зависит от отношения
u^/W2, которое не является интегралом движения, а
изменяется но мере дрейфа частицы вдоль магнитного
поля. Если же силовые линии не искривлены, то вто-
3 Щ Ленерт
65
рая часть сокращается с последним членом в
выражении C.22).
Для частного случая поля, создаваемого линейным
током, дрейфовое движение частицы в неоднородном
магнитном поле было изучено еще в 1906 г. Томсоном
[71]. Альфвен {8, 9] показал, что в первом порядке
теории возмущений движение центра вращения частицы
практически совпадает со средним движением частицы,
рассчитанным для поля магнитного диполя Штермером
[63]. Точность выражения C.24) для движения частицы
в поле линейного тока, рассмотренного в гл. 2,
оценивалась в работе E9]. Там показано, что использование
теории возмущений приводит в данном случае к
незначительным ошибкам.
С точки зрения наблюдателя, совершающего
вместе с ведущим центром ускоренное движение, должны
существовать сила инерции и соответствующий дрейф
C.25). Этот дрейф аналогичен гравитационному.
Важную часть дрейфового движения составляет
поляризационный дрейф, задаваемый формулой C.27). Он
связан с изменением электрического дрейфа частицы во
времени, причем электрическое поле совершает над
частицей некоторую работу. Действительно (см.
рис. 2.4,d), частица «падает» перпендикулярно
эквипотенциальным электрическим поверхностям, приобретая
ускорение поперек статического магнитного поля в
отрицательном направлении оси у. Тот же результат можно
получить, приравняв работу, затраченную на ускорение
частицы, энергии, полученной от внешнего
электрического поля. Частица приобретает эту энергию за счет
поляризационного дрейфа ир в электрическом поле.
В этом конкретном случае при малых скоростях, когда
(*/• v)wE«0, должно выполняться следующее соотно
шение:
Тт-аГЮвЯ? C28)
Подставим в это уравнение Е^=Ву^иЕ и воспользуемся
тем, что (иРХВ)иЕФ0. Тогда для ир получим
выражение, совпадающее с формулой C.27).
66
Отметим, что для частиц с разными знаками
заряда поляризационный дрейф имеет противоположное
направление. Это приводит к разделению зарядов (см.
рис. 2.4,в), причем траектории ионов и электронов
расходятся в разные стороны. Разделение зарядов — это
один из самых существенных механизмов,
определяющих поведение замагниченной плазмы. В дальнейшем
покажем, что разделение зарядов в плазме можно
выразить при помощи эквивалентной диэлектрической
проницаемости.
Известны и другие эффекты, которые связаны с
ускорением поперечного движения ведущего центра.
Следует отметить, что в du./dt-=du±/dt + (u-y)u±
содержатся члены, аналогичные тем, которые вызывают
поляризационный дрейф. Чтобы убедиться в этом,
рассмотрим дрейф, обусловленный поперечной силой
F± = qE± нулевого порядка малости. Такое поле
возникает, например, в плазме, которая быстро вращается
вокруг оси магнитного поля пробочной конфигурации.
На расстоянии г от оси системы движение частиц со
скоростью иЕ создает центробежную силу, причем
соответствующий этой силе дрейф равен mu\jqBr. Этот
инерционный дрейф может оказаться существенным в
уравнении C.22). В частности, когда иЕ достигает по
порядку величины тепловой скорости W, траектории
частиц будут подобны тем, которые показаны на
рис. 2.4, в. Если при этом радиальное расстояние г и
радиус кривизны R силовых линий сравнимы, а иЕ
порядка и и, то инерционный дрейф, обусловленный
иЕ, имеет такое же значение, как и дрейф, связанный
с и\\.В гл. 7 будет показано, что можно получить явное
выражение для дрейфа частицы под действием
центробежной силы, если воспользоваться системой
координат, вращающейся со скоростью иЕ.
Дальнейший анализ эффектов, приводящих к
инерционному дрейфу, недавно продолжил Нортроп [68].
Он рассмотрел также случаи поперечного
электрического поля, характерное время изменения которого
сравнимо с периодом вращения частицы.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дрейфовая теория в первом приближении по параметру» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»