Для частицы, движущейся со скоростью w, справедливо следующее векторное тождество: у"(иГ- А) = (о>- у) А+ wXrot А. B.44) Полную производную по времени в системе координат, движущейся вместе с частицей, можно записать в виде При помощи выражений B.44) и B.45) уравнение движения B.41) примет вид m^L = _^(myg + qy — cj?.A) — q—. B.46) 24 Если ввести лагранжиан L = —mw2 — mcp,,—-qw + qw-A, B.47) 2 s то легко видеть, что уравнение B.46) соответствует уравнениям ± IJL\ _ -^ = о, B.48) где Xk — Wk — производные по времени от координат х^ В отсутствие магнитного поля лагранжиан уравнения B.47) равен разности кинетической и потенциальной энергий частицы. Однако при наличии такого поля не совсем ясно, как следует рассматривать взаимодействие, —»• —>• описываемое членом qw-A: как кинетическую энергию, поскольку здесь имеется зависимость от w, или как потенциальную, поскольку сюда входит внешнее поле А. В дальнейшем увидим, что фактически для развития теории такая классификация не обязательна. Нередко существуют связи, которые ограничивают движение физической системы. Когда ограничения, накладываемые связями, можно выразить при помощи равенств, включающих только координаты частицы, полезно ввести систему обобщенных координат qn — qkit), число которых равно числу степеней свободы системы. Форма функции Лагранжа при этом сохранится прежней B.47), а уравнения Лагранжа, как легко убедиться, принимают вид m~z- ** _d / dL \ dL dt Уравнения B.49) тождественны дифференциальным уравнениям, возникающим из вариационной задачи bfut=--0 B.50) и с фиксированными моментами времени t\ и ?>, известной под названием принципа Гамильтона. Лагранжиан яв- 25 ляется функцией координат qu, «скоростей» qk и времени. Определим обобщенный импульс Рь=— На- a- ft <2-51) dqk Щ' ^ Ц и гамильтониан Н = ЪРАн-ЦЯ»Ян,Ъ- B-52) k Из определения B.51) следует, что обобщенный импульс является функцией qh qj и t. И наоборот, это определение позволяет исключить скорости q^ так что теперь систему можно описывать при помощи величин q^ рк и ty которые следует рассматривать как независимые переменные в канонических уравнениях. Тогда дифференциал Н примет следующий вид: dH =2(» - —V4 +2( qkdPk -^*)~ ^dt. B.53) Первый член в 'правой части этого уравнения, согласно определению B.51), исчезает. Таким образом можно выразить dH только 'через приращения ри, qk и t. Из выражения для dL/dqk, определяемого равенством B.49), и из уравнений B.51) и B.53) получим +^*0+>- B-54) Следовательно, dt ~ dt B.55) Л—1^". <2'56) dpk д! ft = -|^. B-57) 26 где два последних соотношения представляют собой канонические уравнения Гамильтона. Иногда полезно перейти от одной системы координат к другой. В гамильтоновой формулировке обобщенные импульсы B.51) являются такими же полноправными независимыми переменными, как и обобщенные координаты. Поэтому в общем случае преобразование от одной системы координат (qk, pk) к другой (q'kf p'k) затрагивает одновременно координаты q'k=q'k{qh,Pk,t) и импульсы p'k=p'k (qk,PhJ). Особый интерес представляют такие новые переменные, которые приводят к системе уравнений канонического вида B.56) и B.57) с новым гамильтонианом #' = #''(q'k*p'k,t) и с соответствующим лагранжианом Z/, связанным с И' уравнением типа B.52). Такие преобразования называют каноническими Если q'k и p'k — канонические координаты, то они должны удовлетворять принципу Гамильтона точно так же, как и первоначальные координаты qu и pk. При этом соответствующие лагранжианы Z/ и L отличаются самое большее на полную производную по времени от произвольной функции G. Поскольку эта функция определяет каноническое преобразование, она должна зависеть как от новых, так и от старых переменных. Благодаря тому что q'k и р'к— функции qk и pk, функцию G всегда можно представить в виде функции 2/г из полного набора 4/г переменных q'k, p'k, qk и Pk (где п — число степеней свободы). Одной из четырех возможностей является выбор G в следующем виде: G = G\(qk, q'k, t). Распишем теперь полную производную по времени dGi/dt и положим ее равной разности L—Z/, которая выражена при помощи соотношения B.52). Из условия, что в полученном выражении каждый из коэффициентов при qk и q'k должен равняться нулю, следует, в частности, что dG\ldq'k=—p'k. В дальнейшем нас будет больше интересовать другая форма G, которая может быть записана как G2 (qk, рк , t) =г G, (qM, qkj t) + 2>i#*. Подставляя это соотношение в dG\/dt = L—Z/ и приравнивая нулю коэф- 27 фициенты при qk и р'к, получаем соответствующие урав- нения преобразования pk=^9q- = J9±9H'~H+-Q-m B.58) Щк dpk dt Следовательно, преобразование полностью определяется заданием G2. Поэтому G^ называют производящей функцией канонического преобразования. Выбор производящей функции G тремя другими способами: Gi (ЧьЧь t),G3(pkypk, t) или G4{qkypkf t) — приводит к условиям, подобным уравнению B.58).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Канонические уравнения» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
