В невозмущенной холодной плазме как плотность частиц п, так и магнитное поле Во однородны в пространстве и постоянны во времени. Ионы и электроны неподвижны. Предположим, что наложено возмущение первого порядка вида ехрг(к • г — vt). Из-за возмущения электрического поля Е и индуцированного магнитного поля Bj ионы и электроны приходят в движение. Обозначим через v^ скорость частиц сорта к (электронов либо ионов различных сортов). Ток j, возникший вследствие движения частиц, дается выражением A0.1) к Здесь щ и qk — плотность и заряд частиц сорта fc, соответствен- соответственно. Электрическая индукция D равна D = 60E + P, A0.2) j = ^ = -ia;P, A0.3) где Е — напряженность электрического поля, Р — электриче- электрическая поляризация, а ео — диэлектрическая постоянная. Можно записать D как 174 Гл. 10. Распространение электромагнитных волн в плазме г . D = €0Е + -j = е0К Е. A0.4) К называют диэлектрическим тензором или, точнее, тензором диэлектрической проницаемости. Уравнение движения отдельной частицы сорта к имеет вид ¦vjkxB). A0.5) но Здесь В представляет собой сумму В = Во + Bi, a vk, E, Bi — величины первого порядка малости. Уравнение, линеаризованное по этим величинам, записывается в виде -гшткук = qk(E + vkx Bo). A0.6) Если ось z выбрана вдоль направления Во, решение дается выражениями -гЕх п\ Во iEy —iEz fik Vk,z — 5 > Jdq U) A0.7) где Qk — циклотронная частота заряженных частиц сорта к: тк A0.8) (J?e > 0 для электронов и i?i < 0 для ионов). Компоненты v^ представляют собой линейные функции Е, определяемые A0.7); j в A0.1) и электрическая индукция D в A0.4) также являются линейными функциями Е, так что тензор диэлектрической проницаемости дается выражением К Е = -гКх 0 1 Кх К± 0 0 О Кн \ЕХ Еу Ez где т ш2-П\и' A0.9) A0.10) A0.11) §10.1. Дисперсионное уравнение волн в холодной плазме 175 |, A0.12) г2 — Вводятся также (в обозначениях Стикса) величины U Из уравнений Максвелла следует, что k x Hi = -we0K • E Определим безразмерный вектор A0.13) A0.14) A0.15) A0.16) A0.17) UJ (с — скорость света в вакууме). Абсолютное значение N — |N| представляет собой отношение скорости света к фазовой скоро- скорости волны, т.е. N — это показатель преломления. Используя N, мы можем записать A0.17) в виде Nx(NxE) + K-E = 0. A0.18) Если угол между N и Во обозначен как в (рис. 10.1), а ось х выбрана таким образом, что N лежит в плоскости z,x, то A0.18) можно записать следующим образом: KL-N2 cos2 в -iKx N2 sin в cos в ]\ЕХЛ гКх KL-N2 0 Еу =0. N2 sin в cos в 0 #.. - N2 sin2 в [ Ez A0.19) 176 Гл. 10. Распространение электромагнитных волн в плазме Рис. 10.1. Волновой вектор к и координаты х, у, z Для существования нетривиального решения детерминант мат- матрицы должен быть равен нулю, т. е. AN4 - BN2 + С = 0, A0.20) А = К± sin2 в + Щ cos2 в, A0.21) В = {К\- Кх2) sin2 в + ЩК±A + cos2 в), A0.22) С = Щ{К\ - Кх2) = ЩШ. A0.23) Уравнение A0.20) определяет соотношение между волновым век- вектором к и частотой ш и называется дисперсионным уравнением. Решение A0.20) выглядит так: 2_ В±(В2-4АСI/2 _ ~ 2А - ({К\ - Ку2) sin2 в + ЩК±A + cos2 в)± ±[(К{ - Кх2 - ЩК±J sin4 в + ЩКХ2 cos2 0]1/2) х х B(K±sin20 + Щсоэ26))~1. A0.24) Когда волна распространяется вдоль силовых линий магнит- магнитного поля (в = 0), дисперсионное уравнение A0.20) принимает вид -2K±N2 + (Kl-Kx2)) = 0 A0.25) и имеет следующие решения: Я||=0, N2 = K± + KX =R, N2 = K±-KX=L. A0.26) Для волны, распространяющейся перпендикулярно к магнитному полю (9 = тг/2), дисперсионное уравнение и его решения даются выражениями - Кх - Кх2) = 0, A0.27) §10.2. Свойства волн 177 kIk2 = ш N2 = K A028)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дисперсионное уравнение волн в холодной плазме» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
