В предыдущем разделе функция / в подынтегральном выра- выражении для Wp всегда неотрицательна, / ^ О, так что член с / является стабилизирующим. Первый и второй члены в соотно- соотношении (8.94) для g являются стабилизирующими, но 3-й и 4-й члены могут дать вклад в неустойчивость. Когда особенность / ос (к • ВоJ = О уравнения Эйлера (8.88) находится в'точке г = го где-то внутри плазмы, то вклад стабилизирующего члена вблизи г = г*о мал, так что опасной может быть локальная мода, развивающаяся вблизи особенности. Обозначая ах2 r-ro = x, f = ax\ g = P, /3 = a = го k2rl + m2 кг- dr dBe dr /r= r=r0 rBl ro /*/r= r=r0 M = rBx приводим уравнение Эйлера к виду Его решение: где щ и щ даются выражениями (8.96) 2 Р п 1±A+4C/а){/2 пА - п - — = 0, щ = ^—, х у—. а I Если а + 4/3 > 0, то ni и щ действительны. Справедливо равен- равенство п\ +П2 = 1. При п\ < щ имеем решение х~щ, называемое малым решением. Если же п комплексно (п = j ±г5), то ?г имеет вид ехр((—j =рг?Iпх) и осциллирует. Рассмотрим локальную моду ?г, которая отлична от нуля только в е-окрестности точки г = го, и положим r-ro = et, §8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы 143 Тогда Wp принимает вид 1 at2 Поскольку, согласно неравенству Шварца, -1 -1 -1 то -1 Условие устойчивости есть а + 4/? > 0, т. е. /Mi 2/io dpo n ,Q О7ч — Н о~-г~ > и. (о.У/) V) В\ dr x J Величина r(jlf/Ji) называется широм. Наиболее часто dpo/dr < О, поэтому обычно второй член отрицателен. Первый член (Jlf/JiJ выражает стабилизирующую роль шира. Условие (8.97) называ- называется критерием Сайдема [10]. Это необходимое условие устой- устойчивости, но не всегда достаточное, поскольку критерий Сайдема выводится из рассмотрения поведения только локальной моды. Ньюкомб вывел необходимое и достаточное условия устойчиво- устойчивости цилиндрической плазмы. Его двенадцать теорем приведены в работе [11].
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Критерий Сайдема» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
