Уравнения равновесия для систем с осевой и трансляционной симметриями
Будем использовать цилиндрическую систему координат (r,(p,z) и обозначим магнитную поверхность меткой ф. Магнитную поверхность ф = const в осесимметричной системе можно задать через ^-компоненту векторного потенциала (см. C.24)): ф = гА^(г,г), F.11) где (г, ср, z) — цилиндрические координаты, а г- и ^-компоненты магнитного поля даются соотношениями •*-?¦ '*-?¦ <612> Условие В • Vp = 0 следует из уравнения равновесия и расписы- расписывается как _д^др дфдр = dz dr dr dz Следовательно, р является функцией только ф, т. е. p = p(fl>). F.13) Аналогично, из соотношений j • Vp = 0и VxB = /xqJ, можно получить | dpdjrBy) _Q dr dz dz dr Это означает, что гВ^ — функция только ф, и гВ^. F.14) Уравнение F.14) показывает, что 1(ф) — это ток, текущий в полоидальном направлении через круглое сечение плоскости z = const поверхностью ф — гА^ (рис. 6.1). r-компонента выра- §6.2. Системы с осевой и трансляционной симметриями 81 Рис. 6.1. Магнитные поверхности ф = тА^ и 1{ф) жения j х В = Vp приводит к уравнению, определяющему ф: Ij(w) ~\~ и>()Т ~\~ —п —- 0, (о. \.о) оф 8тг дф дг г дг dz2 Это уравнение носит название уравнение Грэда—Шафранова. Плотность тока выражается через функции магнитной поверхно- поверхности -1 д1(ф) , _ 1 di(ф) Jr = 2тгг dz Jz = 2тгг дг IM>r Итак, F.16) = 0. Величины р(ф) и /2(^) — произвольные функции, зависящие от ф. Предположим квадратичную зависимость функций р и I2 от ¦0. Значение ^>s на границе плазмы можно положить равным нулю (ф$ = 0) без потери общности. Если на границе плазмы р = ps, I2 = I2 и на магнитной оси ф = фо, р = ро, I2 = Iq, to p и I2 можно записать в следующей форме: 82 Гл. 6. Равновесие Тогда уравнение равновесия F.15) принимает вид Щ) + {аг2 + /3)ф = О, 2мо(ро-р5) /4 (Ij - /s2) Поскольку = 2Мо J(p - Ps)rfF + A J f ^фЩ)с1У= f l^V^ • nd5- f 1(V^J^— fE2 + V S V V то уравнение F.15) сводится к (p - Ps)dF = | ^ (B% -Bl + (B2r + Вг2)) dV. J( В рамках сделанных предположений о виде функций р(ф) и это уравнение баланса давлений. Магнитная поверхность 0 -0, магнитное поле В и давление р в системе с трансляционной симметрией (d/dz = 0) имеют следующий вид: - Уравнение равновесия в этом случае сводится к гдг\ дг)^ г2д92 т д<ф ^8тг2 дф или, с учетом К А^ + fiojz = 0. Подобное уравнение равновесия можно выписать и для системы с винтовой симметрией. 1) Всюду в этом разделе автор формально отождествляет с магнитной поверхностью полоидальный магнитный поток ф, постоянный на магнитной по- поверхности. Этот выбор популярен, но, разумеется, не единственен. — Примеч. ред.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения равновесия для систем с осевой и трансляционной симметриями» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
