Силовая линия магнитного поля удовлетворяет уравнениям dx_ = dy_ __ dz_ = ей C 21) ¦Вж ^ 5Z В где I — координата вдоль силовой линии (dlJ — (dxJ + (dyJ + + (d^J. Магнитная поверхность ф(г) = const, на которой ле- лежат все силовые линии удовлетворяет условию (V^®) • В = 0. C.22) Вектор V^®, нормальный к магнитной поверхности, должен быть ортогонален В (см. рис. 3.2). ф = const Рис. 3.2. Магнитная поверхность ф — const, нормаль V^ и магнитная силовая линия В цилиндрических координатах (г, в, z) магнитное поле В задается формулами dAz дАв Я - l г г дв дг" 1) Точнее, s — единичный вектор к контуру С. Направление s выбрано совпадающим с направлением обхода контура, при котором ограниченная кон- контуром область остается слева. — Примеч. ред. §3.3. Уравнение движения заряженной частицы 49 г, 9Ar dAz C.23) д , . . \дАг В случае осесимметричной конфигурации (д/дв = 0) вели- величина ^(г,г) = гА^(г,г) C.24) удовлетворяет условию C.22) для магнитной поверхности: Вгд(гАе)/дг + Ве-0 + Bzd(rAe)/dz = 0. Магнитная поверхность в случае трансляционной симметрии (d/dz — 0) определяется соотношением а магнитная поверхность в случае винтовой симметрии, при которой ф является функцией г и в — az, задается уравнением ф(г, 9-az) = Az(r, 6-az) + arAe(r, в - az), C.26) где а характеризует шаг винта. § 3.3. Уравнение движения заряженной частицы Уравнение движения частицы массой тис зарядом q в элек- электромагнитном поле Е, В имеет вид i) C'27) Так как сила Лоренца, выражаемая вторым членом в правой части C.27), ортогональна скорости v, скалярное произведение силы Лоренца и v равно нулю. Кинетическая энергия удовлетво- удовлетворяет уравнению mv2 t = q Если электрическое поле равно нулю, кинетическая энергия заряженной частицы сохраняется. В декартовых координа- координатах (x,y,z) х-компонента уравнения C.27) записывается как md2x/dt2 = q(Ex + (dy/dt)Bz - (dz/dt)By). Однако радиаль- радиальная компонента C.27) в цилиндрических координатах (г, 0, z) md2r/dt2 ф q(Er + r(d9/dt)Bz - (dz/dt)Bo). Это указывает на то, что форма уравнения C.27) не сохраняется при преобразо- 50 Гл. 3. Конфигурации магнитного поля и траектории частиц вании координат. Если применяются обобщенные координаты qi (i = 1,2,3), необходимо использовать формализм уравнений Лагранжа. Лагранжиан заряженной частицы в поле со скаляр- скалярным и векторным потенциалами ф, А имеет вид L(qu «, t) = ^ + qv • А - #. C.28) Лагранжиан в декартовых и цилиндрических координатах опре- определяется выражениями L(x, у, z, х, у, zyt) = j (x2+y2+z2) +q(xAx+yAy+zAz) - q<j>, соответственно. Уравнение движения в форме Лагранжа имеет вид ^(Ш)-Ш=О. C.29) дА дф\ л — - ^j = 0, Подстановка C.28) в C.29) в случае декартовых координат дает дАдф дА_дф\_ dx dx)~ dt что эквивалентно C.27). Уравнение Лагранжа в цилиндрических координатах имеет вид mr — g(E + v х В)г + т(гвJ/г, в кото- котором появляется член с центробежной силой. Гамильтонова форма уравнения движения сохраняется при канонических преобразованиях — преобразованиях более общих, чем преобразования координат. В этом формализме в дополнение к пространственным координатам (qi) вводятся импульсы причем pi рассматриваются как независимые переменные. Тогда мы можем выразить из C.30) ^ как функцию (qj,Pj,t)- qi = <li(qj,Pj,t). C.31) Гамильтониан H(qi,pi,t) задается выражением %qi(qj,Pj,t). C.32)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Магнитная поверхность» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
