При обсуждении в §7 того, как микрочастицы отражаются от потенциального барьера при условии E < U отмечалось, что все частицы отражаются от барьера, но точка отражения – случайна. Следовательно, теоретически микрочастица может углубиться в классически недоступную область на любую глубину, хотя вероятность этого и сильно падает с ростом глубины. Это наводит на следующую мысль – если бы классически недоступная область была конечной толщины, а не бесконечной, то микрочастица с некоторой вероятностью могла бы через неё проскочить и не отразиться. Для того, чтобы классически недоступная область была конечной толщины, потенциальный барьер должен быть двусторонним – см. рисунок 5.7. Двусторонний потенциальный барьер Рис. 5.7 Двусторонний барьер – это как бы вывернутая наизнанку потенциальная яма, поэтому его можно определить так.
Двусторонним потенциальным барьером называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы имеет локальный максимум.
Высотой двустороннего потенциального барьера называется разность между максимумом потенциальной энергии и потенциальной энергией на границе барьера. Так как потенциальная энергия на двух границах барьера может иметь разные значения, то высота барьера зависит от того, с какой стороны на него налетают частицы.
Двусторонний потенциальный барьер называется равнобоким, если его высота со всех сторон одинаковая. Именно равнобоким является барьер, изображённый на рисунке 5.7. Его границами являются точки с координатами x и x. В области І (при x < x, то есть слева от барьера) и в области ІІІ (при x > x, то есть справа от барьера) частица – свободна. Мы ограничимся для простоты рассмотрением только равнобоких барьеров. Рассмотрим сначала, как действует поле двустороннего потенциального барьера на классическую частицу. Это поле является тормозящим независимо от того, с какой стороны в него влетает частица. Однако, если энергия частицы E выше высоты барьера U, то частица будет тормозиться и терять свою скорость лишь до тех пор, пока не долетит до точки с координатой xm, в которой потенциальная энергия достигает максимума U. В этой точке , то есть тормозящая сила обращается в нуль. Пролетев эту точку, частица попадёт в ускоряющий участок поля, так как проекция силы на ось OX меняет знак и направления силы и скорости становятся одинаковыми. Поэтому скорость частицы начнёт прибывать. Вылетев из поля, частица будет обладать той же скоростью, какая у неё была до попадания в поле. Если энергия частицы E меньше высоты барьера U, то у неё есть две точки поворота x01 и x02, в которых частица отражается от барьера. Частицы, налетающие на барьер слева, отражаются в точке x01, а налетающие справа – в точке x02. Теперь обратимся к микрочастицам и описывающей их квантовой механике. Частицы с энергией E < U, налетая на барьер, проникают в классически недоступную область, а дальше, как это принято в микромире, ведут себя случайно: одни из них отражаются в какой-то точке между двумя точками поворота и образуют отражённый пучок. Другие, долетев до второй точки поворота, могут выскочить из классически недоступной области и образовать забарьерный пучок, улетающий от барьера. Для того, чтобы убедиться в существовании забарьерного пучка, необходимо, разумеется, сначала решить стационарное уравнение Шрёдингера. Будем считать для определённости, что источник частиц находится слева, так что частицы налетают на барьер из области І. Так как потенциальная энергия частицы до барьера (в области І) и за барьером (в области ІІІ) одна и та же и равна нулю, то решения стационарного уравнения Шрёдингера в І и ІІІ – тоже одинаковые: . (5.72) То, что источник находится слева, означает B = 0. Если при этом считать заданной плотность потока генерируемых частиц j, то постоянная A определяется величиной j: . (5.73) Постоянные B и A определяют коэффициент отражения частиц от барьера R и коэффициент прохождения частиц через барьер D (коэффициент прозрачности): . (5.74) . (5.75) Так как R + D = 1, то (B(и (A( связаны друг с другом уравнением . (5.76) Для того, чтобы однозначно определить (B(и (A( и связанные с ними коэффициенты R и D, этого уравнения недостаточно. Следовательно, необходимо конкретизировать форму барьера. Простейший двусторонний барьер – прямоугольный. Он определяется выражением: (5.77) и изображён на рисунке 5.8. В области барьера (II) потенциальная энергия постоянна и равна U. Решение уравнения Шрёдингера в этом случае нам уже известно: . (5.78) Теперь применим процедуру сшивания. ( и ( должны сшиваться в точке x = 0, а ( и ( – в точке x = a. Это означает: . (5.79) Прямоугольный двусторонний потенциальный барьер Рис. 5.8 Применяя эти условия сшивания, получим следующую систему уравнений: (5.80) Так как постоянная A связана с плотностью потока исходного пучка j, то система (5.80) есть система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными B, A, B и A. Решение этой системы даёт отличные от нуля значения всех постоянных, в том числе и A. Но A определяет плотность потока забарьерного пучка j. Значит j ( 0, и это доказывает, что забарьерный пучок существует. Решив систему (5.80) и подставив решение в формулы (5.75), нетрудно получить следующее выражение для коэффициента прозрачности барьера D: . (5.81) Итак, мы получили очень интересный и важный закон квантовой механики.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Туннельный эффект» з дисципліни «Квантова фізика»
