Для того, чтобы записать окончательное выражение для пси-функции стационарного состояния линейного гармонического осциллятора, надо: 1) Подставить в (5.35) вместо ((() полином Эрмита Hn((). 2) Пронормировать полученную пси-функцию на единицу. 3) Умножить нормированную координатную пси-функцию (пси-функцию начального состояния) на временной множитель. В результате получается: (5.41) Исследуем теперь физический смысл этого выражения. Как уже отмечалось ранее, зная пси-функцию, интересно в первую очередь получить и исследовать функцию распределения координат частицы f(x) = ((E(x)(. Для безразмерной координаты ( это – функция f(() = ((E(()(. В качестве примера на рисунке 5.4 приведены графики функций f(() для четырёх первых стационарных состояний – основного (n = 0) и трёх возбуждённых (n = 1, n = 2 и n = 3). При расчётах функций распределения использованы выражения для первых четырёх полиномов Эрмита (5.38).
Функции распределения координат гармонического осциллятора Рис. 5.4 Кроме функции распределения f(() на каждом из графиков в виде горизонтальной линии изображён энергетический уровень (n и пунктирной линией изображена потенциальная яма, то есть функция U(() – в тех же относительных единицах, что и энергия. Вертикальные пунктирные линии показывают точки поворота и, следовательно, границы классически доступной области. Выводы, которые следуют из графиков на рисунке 5.4, таковы. 1). Классический одномерный осциллятор в процессе колебаний быстро проскакивает положение равновесия (точку ( = 0), но при подходе к точкам поворота постепенно замедляется, поэтому большую часть времени пребывает именно в окрестности точек поворота. Квантовый осциллятор в основном состоянии ведёт себя в корне наоборот – он, как и квантовая частица в прямоугольной потенциальной яме, стремится быть поближе к центру ямы (к точке ( = 0), и очень не любит подходить к стенкам (к точкам поворота). В возбуждённых состояниях по мере роста энергетического уровня у осциллятора постепенно появляется тяга к стенкам ямы. Это свидетельствует о том уже упоминавшемся факте, что с ростом энергии разница между результатами квантовой и классической механики становится всё меньше. 2). Квантовый осциллятор может быть обнаружен в классически недоступной области, и вероятность этого не так уж мала – даже на графиках видно, что в точках поворота значение функции распределения координат f(() составляет примерно половину её максимального значения. 3). В возбуждённых состояниях у пси-функции появляются узлы. Это означает, что пси-поле частицы, находящейся в возбуждённых состояниях, делится на отдельные кванты, иначе говоря – расслаивается. Как уже отмечалось ранее, это – общая закономерность микромира, не зависящая от формы потенциальной ямы. Количество слоёв пси-поля (квантов) равно (n + 1), то есть снова совпадает, как и в случае прямоугольной потенциальной ямы с порядковым номером энергетического уровня.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Полное выражение для пси-функции частицы» з дисципліни «Квантова фізика»
