Естественно возникает вопрос – а как ведёт себя в этой яме микрочастица? Ответ на этот вопрос спрятан в пси-функции частицы. Будем считать, что упругая среда стационарна. Это значит, что коэффициент упругости k есть константа, не зависящая от времени. Тогда возможны стационарные состояния частицы, и именно их наиболее интересно в первую очередь исследовать. П.1. Решение стационарного уравнения Шрёдингера. Подставив в одномерное стационарное уравнение Шрёдингера (5.9) выражение для потенциальной энергии частицы (5.29) получим уравнение Шрёдингера в следующем виде: . (5.30) Это – непростое дифференциальное уравнение. Мало того, что оно второго порядка, оно ещё и неоднородное. Значит, надо обратиться к учебникам или справочникам по математике. Но сначала это уравнение надо “причесать”, то есть привести его к максимально простому виду. Для этого прежде всего применим один универсальный математический приём – сделаем линейную за мену переменной: x = b(. При этом пси-функция будет зависеть от новой переменной (, и надо от дифференцирования по x перейти к дифференцированию по (, используя известное правило . Отсюда следует, что . В результате уравнение (5.30) преобразуется так: . Выберем константу b так, чтобы максимально упростить в этом уравнения третий член, который как раз и вносит неоднородность. При этом учтём, что классическая частота колебаний осциллятора ( связана с коэффициентом упругости среды k и с массой осциллятора m формулой . Итак, приравняем коэффициент у третьего члена к единице: . (5.31) Интересно, что константа b, определяемая формулой (5.31), имеет размерность длины. Это означает, что переменная (, равная x/b, является безразмерной, и её можно назвать безразмерной координатой. А теперь вернёмся к дифференциальному уравнению. Его “причёсанный” вид получается таким: , (5.32) где буквой ( обозначена ещё одна безразмерная величина: , (5.33) которую естественно назвать безразмерной энергией. Теперь применим ещё один приём – физический. Так как частица находится в потенциальной яме, и яма эта – бесконечно глубокая, то состояние частицы безусловно будет связанным. Тогда пси-функция частицы должна в классически недоступной области (x > x0 и x < x0) быстро убывать по мере удаления от точек поворота x0 и x0. Можно предположить, что пси-функция есть произведение двух множителей (E = ((. (5.34) Один из них – ( –определяет поведение частицы в яме, второй – ( – за пределами ямы, то есть в классически недоступной области. Именно ( и определяет быстрое убывание пси-функции при x > x0 и x < x0. В случае прямоугольной ямы пси-функция в классически недоступной области убывала экспоненциально. Поэтому весьма вероятно, что ( тоже имеет вид экспоненты. А так как яма – симметричная, то и пси-поле должно быть симметричным, и описывающая его экспонента ( должна быть чётной функцией: ((x) = ((x). Таким образом, будем искать решение уравнения (5.32) например в следующем виде: . (5.35) Подстановка (5.35) в (5.32) приводит к дифференциальному уравнению для функции (: . Подходящим выбором константы c можно в этом уравнении избавиться от любого из его членов. Лучше всего избавиться от третьего члена. Для этого надо положить . В результате получается такое уравнение: . (5.36) Это уравнение хорошо известно математикам, и его решения можно найти в учебниках и справочниках. Анализ этих решений рассмотрим в следующем пункте. П.2. Исследование решений уравнения (5.36) и определение энергетического спектра. Для того, чтобы пси-функция (E(() удовлетворяла стандартным условиям, в частности, условию ограниченности, недостаточно записать её в виде произведения (5.35). Надо, чтобы первый множитель ((() в классически недоступной области вёл себя “хорошо”, то есть не нарастал слишком быстро по мере удаления от точек поворота. Если же он нарастает быстрее, чем убывает экспоненциальный множитель, то условие ограниченности пси-функция (E(() нарушается. Оказывается, что “хорошее” поведение ((() наблюдается только в одном частном случае – когда дифференциальное уравнение (5.36) имеет такой вид: . (5.37) Решением этого уравнения являются так называемые полиномы Эрмита Hn((). Порядок полинома совпадает с целым числом n, входящим в уравнение (5.37). Выражения для первых четырёх полиномов такие: (5.38) Любой другой полином можно получить, используя рекуррентную формулу (5.39) Итак, входящая в уравнение (5.36) скобка – это целое число n. Отсюда следует дискретность безразмерной энергии (. Значит, и спектр энергии частицы E – тоже дискретный. С учётом выражения (5.33) можно получить следующую формулу квантования энергии: . (5.40) Какие выводы можно сделать, анализируя эту формулу? Во-первых, согласно определению 1 в §4, целое число n, входящее в формулу квантования энергии, – это главное квантовое число. Однако минимальное значение n – не 1, а 0. Поэтому n – это не номер энергетического уровня, а номер возбуждённого уровня. Для основного состояния n = 0 и энергия основного состояния . Во-вторых, энергетические уровни следуют друг за другом через равные интервалы, каждый такой интервал – это минимальный квант энергии, который равен . Этот квант получил специальное название – фонон. Любой другой квант энергии – это целое число фононов. Понятие фонона обрело в физике твёрдого тела почти материальную оболочку. Дело в том, что удобной моделью твёрдого тела является упорядоченная в виде кристаллической решётки система независимых частиц-осцилляторов (атомов или ионов). Частицы расположены в узлах решётки, и для каждой из них окружающие её частицы выступают в двух ролях. Первая роль – коллективная: все вместе они создают упругую среду, в результате чего каждая из них становится гармоническим осциллятором, независимым от отдельных участников коллектива. Вторая роль – индивидуальная: каждый из осцилляторов время от времени вступает во взаимодействие со своими ближайшими соседями – в те случайные краткие момента времени, когда они подходят достаточно близко друг к другу (сталкиваются). Поэтому на языке квантовой физики поведение независимых осцилляторов твёрдого тела можно описать так. Каждый из осцилляторов стремится занять своё основное стационарное состояние с энергией , но вследствие хаотического соударения с соседними осцилляторами перескакивает на возбуждённые уровни. В результате такого прыжка энергия осциллятора изменяется на один или несколько фононов. Закон сохранения энергии требует, однако, чтобы увеличение энергии одного из сталкивающихся осцилляторов сопровождалось точно таким же уменьшением энергии второго осциллятора. Таким образом, каждая пара осцилляторов при столкновении друг с другом обменивается фононами. Это очень напоминает процессы излучения и поглощения атомами фотонов: каждый атом, переходя из возбуждённого состояния в основное, излучает один или несколько фотонов, а эти фотоны могут быть поглощены другими атомами, которые в результате переходят на возбуждённые уровни. Эта аналогия приводит к мысли, что фононы можно считать чем-то вроде частиц – “квазичастицами”. Более подробная разработка этой идеи показывает, что фононы действительно можно охарактеризовать величинами, свойственными для частиц: массой, скоростью, импульсом и так далее. От настоящих частиц фононы отличаются только тем, что существуют лишь внутри твёрдого тела, выход за его пределы им запрещён.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Параболическая потенциальная яма» з дисципліни «Квантова фізика»
