Момент импульса частицы – это вектор , где r – радиус-вектор частицы, p – импульс частицы. Проекции этого вектора на оси декартовой системы координат (декартовые компоненты вектора) можно определить, записав векторное произведение в виде определителя: . Раскрывая определитель по элементам первой строки, получим разложение вектора по ортам декартовой систем координат. . Коэффициенты этого разложения и есть декартовые компоненты момента импульса : . (3.13) Учитывая, что разноимённые компоненты радиус вектора и импульса частицы обладают коммутирующими операторами, получим согласно законам сопоставления: . (3.14) Кроме проекций вектора на координатные оси интерес представляет ещё абсолютная величина (модуль) этого вектора . Величина L связана с проекциями Lx, Ly, Lz формулой . При этом законы сопоставления (закон суммы и и закон степени) дают: . (3.15) Подставив в (3.15) выражения для (3.14), можно получить полное выражение, определяющее оператор . Однако это выражение довольно громоздкое и, как выяснится в дальнейшем, не очень полезное. Более полезным оказывается другое выражение, которое будет записано несколько позже. Нетрудно убедиться, что три оператора декартовых компонент момента импульса попарно некоммутативны. Однако каждый из этих операторов коммутативен с . О том, какой в этом факте физический смысл, говорится в главе 4. А в этой главе мы выясним, каким спектром обладают операторы и, следовательно, физические величины Lx, Ly, Lz, L. П.2. Квантование проекций момента импульса. Для определения спектра операторов надо решить четыре уравнения на собственные функции этих операторов. Например, для оператора указанное уравнение имеет вид: . (3.16) Прежде, чем браться за решение выше упомянутых четырёх уравнений, следует выполнить некоторую подготовительную работу. Во-первых, нужно выбрать направления осей координат. Момент импульса – это физическая величина, применяемая для описания вращательного движения. Если есть вращательное движение, то есть и ось вращения. Поэтому естественно вдоль этой оси направить одну из осей координат. Удобнее всего – ось OZ. При этом одна из трёх проекций момента импульса (Lz) приобретает особое значение, и тогда в первую очередь следует найти именно её спектр. Во вторых, ось вращения часто представляет собой ось симметрии, а при наличии осевой или центральной симметрии вместо декартовой системы координат удобнее использовать цилиндрическую или сферическую. При этом пси-функции, характеризующие состояния частиц, зависят не от (x, y, z), а от ((, r, z) в цилиндрической системе координат и от ((, r, () в сферической системе координат. Тогда для решения уравнений на собственные функции операторов , которые, как это видно из (3.14), действуют на функции, зависящие от (x, y, z), следует сначала преобразовать операторы , используя известные формулы, связывающие декартовые координаты с цилиндрическими или сферическими. Опуская математические выкладки, приведём здесь один любопытный результат. Оказывается, что оператор как в цилиндрических, так и в сферических координатах имеет один и тот же, причём очень простой вид: , (3.17) при этом и уравнение на собственные функции оператора является несложным. Запишем его и попробуем решить. Пусть для определённости система координат – сферическая. . (3.18) Индекс Lz, который должен стоять у функции (((, r, () временно для краткости опущен. Уравнение (3.18) – это простое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его решение такое: , (3.19) где C (r, () – произвольная функция. Для нахождения собственных чисел величины Lz, необходимо проанализировать полученное решение. Всякая пси-функция, описывающая состояние частицы, должна безусловно быть однозначной, то есть она не может иметь в одной и той же точке пространства более одного значения. Так как точка с координатами ((, r, () и точка с координатами (( 2(, r, () – это одна и та же точка в пространстве, то требование однозначности пси-функции означает: . (3.20) Левую часть этого равенства можно представить в виде: . Подставив это выражение в (3.20) и сократив на общий множитель, получим: . (3.21) Как известно, функция eix может быть равна 1 только при условии, что x = 2(m, где m – целое (положительное или отрицательное число). Таким образом, из (3.21) следует, что (3.22) Этот результат означает, что спектр проекций момента импульса на ось OZ – дискретный, значения величины Lz могут быть только кратными постоянной Планка (. Несколько важных замечаний к полученному результату. Во-первых, при выводе формулы (3.22) нигде непосредственно не использовался тот факт, что ось OZ совпадает с осью вращения. Поэтому, если OZ направить под любым произвольным углом к оси вращения, то получится тот же результат. Это означает, что формула (3.22) справедлива для проекции момента импульса частицы на любое направление. Во-вторых, выражение (3.22), определяющее возможные значения проекций момента импульса, то есть его дискретный спектр, носит специальное название – формула квантования.
Выражение, определяющее дискретный набор возможных значений физической величины (дискретный спектр), называется в квантовой механике формулой квантования или уравнением квантования. Термины “квантование физической величины” и “физическая величина квантуется” как раз и означают, что спектр этой величины – дискретный. Обычно в формулу квантования входит некоторое целое число, которое и определяет разрешённые значения физической величины. Это число называется квантовым числом. Каждое квантовое число чаще всего имеет специальное название. Например, квантовое число m в формуле квантования проекций момента импульса (3.22) называется магнитным квантовым числом. Происхождение этого термина связано с тем, что одной из главных причин, вызывающих вращение заряженных частиц, является магнитное поле. Заряженные частицы в магнитном поле вращаются так, что их ось вращения параллельна вектору магнитной индукции B. Поэтому для однородного магнитного поля выбор оси OZ в направлении оси вращения, означает, что ось OZ параллельна вектору B. Тогда проекция момента импульса Lz – это проекция вектора на направление индукции магнитного поля. Именно для частиц в магнитном поле было впервые экспериментально обнаружено явление квантования Lz, и природа этого явления первоначально связывалась со специфическим влиянием магнитного поля. Поэтому и квантовое число m было названо магнитным. То, что квантуются все проекции момента импульса и независимо от магнитного поля, было выяснено несколько позже. В-третьих, проекция момента импульса не может быть, разумеется, больше модуля вектора L. Поэтому при данной величине L существует максимальное и минимальное значения магнитного квантового числа m. Это число обозначается буквой l и называется орбитальным квантовым числом. Как читатель узнает в следующем пункте, орбитальное квантовое число входит в уравнение квантования модуля момента импульса. Итак, резюме. Проекция момента импульса на любую ось квантуется, и уравнение квантования для всех проекций L имеет один и тот же вид. Например уравнения квантования декартовых проекций Lx, Ly, Lz таковы: (3.23) Предельные (минимальные и максимальные) значения квантовых чисел mx, my, mz определяются орбитальным квантовым числом l, которое связано с модулем момента импульса. П.3. Квантование модуля момента импульса. Для определения спектра физической величины L = (L( следует, как упоминалось в П.2, решить уравнение (3.16) в сферической или цилиндрической системах координат. В сферических координатах, например, указанное уравнение имеет вид . (3.24) Так как оператор записать проще, чем , то удобнее решать несколько иное уравнение, которое получается, если на левую и правую часть (3.24) подействовать оператором : . (3.25) Выражение для оператора в сферических координатах проще, чем в декартовых, однако всё равно решение уравнения (3.25) и его исследование, необходимое для определения спектра оператора, оказывается не очень простой задачей. Поэтому, отправляя любознательного читателя к многочисленным учебникам по квантовой механике, где эта задача рассмотрена достаточно подробно, мы приведём здесь лишь конечный результат. Спектр модуля момента импульса – дискретный, и уравнение квантования для L имеет вид . (3.26) Целое положительное квантовое число l называется орбитальным квантовым числом.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Операторы и квантование момента импульса» з дисципліни «Квантова фізика»
