Ключевые черты магнитного поля определяются его соленоидальностью divB = 0. (А.0.2) В окрестности произвольной точки пространства уравнение (А.0.2) может быть разрешено в виде В = [V/z,W], (А.0.3) где /i и v — некоторые различные функции пространства и времени (потенциа- лы Клебша или просто клебши). Для простоты рассмотрим статический случай. Представление (А.0.3), заведомо справедливое локально, может не иметь место во всем пространстве для магнитного поля произвольной топологии. Действительно, пусть представление (А.0.3) справедливо в окрестности некоторой точки с радиус- вектором го. Тогда, поскольку B-V/i = BVu = 0 , (А.0.4) то силовая линия магнитного поля, проходящая через точку г0, лежит на поверх- ностях /i® = const = /i(ro), v® = const = ^(i*o), т.е. служит пересечением этих поверхностей. Такое пересечение может быть либо замкнутой линией, либо лини- ей, концы которой лежат на бесконечности. Таким образом, представление (А.0.3) непригодно для описания магнитных полей, силовые линии которых покрывают некие поверхности или эргодически заполняют объём. Общность представления (А.0.3) мо- жет быть расширена, если считать /i и v многозначными функциями в пространстве, однако в этом случае наглядность (А.0.3) зачастую теряется, и работать с этим представлением (особенно в нестационарном случае) становится неудобно. Вместе с тем математическое обобщение (А.0.3) на поля любой топологии не вызывает трудностей. Действительно, введём триаду координат, вообще говоря, кри- волинейных {аг(г)}, г= 1,2,3, и связанный с ней базис, образованный единичными векторами L 2 Va] Г з " ' jy "LV ' v J v " D(x\x\x*Y Здесь J — якобиан. Данная триада невырождена при J ^ 0. Разложив вектор В по этому базису в виде з В = Y^ AlJei = Al[Va2, Va3} + A2[Va3, Va1] + ^[Va1, Va2] , (A.0.5) i=\ 556 Прил. А. Замечания о топологии магнитного поля (В. И. Ильгисонис) получим, что коэффициенты Аг как функции координат а1 ...а3 обеспечивают соле- ноидальность тогда и только тогда, когда дА1 дА2 дА3 А /ЛА?:ч + + 0 А06 так как [Х7аг,Х7аг] =0. Коэффициенты Аг и соответствующие им компоненты маг- нитного поля заданы в пространстве однозначно. Представление (А.0.5) позволяет наглядно проиллюстрировать возможные раз- личия в топологии магнитного поля. Действительно, пусть А1 = А2 = 0. Тогда представление (А.0.5) сводится к (А.0.3): В = [А3(а\а2)Х7а\Х7а2}, поскольку в качестве /i и v можно выбрать, например, а2 ц = а\ и= \ A3(a\x)dx . (А.0.7) В этом случае силовые линии магнитного поля, как отмечалось выше, либо замкну- ты, либо приходят из бесконечности и уходят на бесконечность. Пусть теперь лишь один из коэффициентов в представлении (А.0.5) равен нулю, скажем, А1 = 0. В этом случае вместо (А.0.4) имеем B-Va1 = 0, т.е. силовые линии магнитного поля лежат на поверхности а1 = const. Наконец, для описания полей существенно трёхмерной топологии в разложении (А.0.5) должны присутствовать все 3 члена. Рассмотрим подробнее структуру магнитного поля, силовые линии которого фор- мируют систему тороидально-вложенных магнитных поверхностей; именно на полях такой топологии основана, главным образом, концепция магнитного УТС. Возмож- ность создания магнитных полей с такой структурой силовых линий отнюдь не явля- ется очевидной. На заре термоядерных исследований было показано, что магнитные поля с топологией тороидально-вложенных поверхностей могут быть созданы токами определенной симметрии: аксиальной и/или винтовой. Поскольку какие-то наруше- ния симметрии неизбежны в любой реальной конструкции, вопрос о возможности создания полей искомой топологии в отсутствие точной симметрии продолжает оставаться актуальным и поныне. Отметим, что представление (А.0.5) позволяет ответить на этот вопрос положительно. Действительно, используя преобразования координат, аналогичные (А.0.7), запишем выражение для В в виде В = [Щ, V0] - q[Vi/>, Vip]. (A.0.8) Здесь ф — индекс магнитной поверхности. Функции (ф, 0, ср) всегда могут быть выбраны так, чтобы величина q была бы "поверхностной" функцией, q = q(ijj). Проводя аналогию с токамаком, заметим, что величины вир играют в (А.0.8) роль тороидальной и полоидальной угловых координат соответственно. В этом случае формальное сведение (А.0.8) к (А.0.3) в виде ^ —> /i, в — qcp ^ u в классе однознач- ных в пространстве и угловых переменных не проходит. Подчеркнем еще раз, что представление (А.0.8) само по себе не предполагает аксиальной или какой-либо иной симметрии; магнитные поверхности ф(г) = const могут быть вполне произвольны. Таким образом, ответ на поставленный вопрос может быть получен из решения обратной задачи: рассматривая 0 и (р в качестве аналогов координат в полоидальном и тороидальном направлении и выбирая в качестве ф произвольную функцию коорди- нат, точки максимумов/минимумов которой локализованы в пространстве (например, лежат на замкнутой кривой - магнитной оси системы), получим, что силовые линии Прил. А. Замечания о топологии магнитного поля (В. И. Ильгисонис) 557 магнитного поля (А.0.8) лежат на поверхностях ф = const. Такое поле В формируется электрическими токами с пространственной плотностью j = -^rotB . (A.0.9) 4тг Тем самым, вместо угадывания искомого распределения токов и последующей про- верки топологии магнитных силовых линий, можно задать магнитные поверхности подходящей формы и рассчитать токи, необходимые для создания соответствующего магнитного поля. Поясним сказанное на примере. Возьмём в качестве исходной конфигурации простейший набор вложенных торов круглого сечения, описываемый в цилиндрических координатах {г, 9, z} уравнением ф = В0((г - г0J + z2) = const , (А.0.10) где Bq - некоторое характерное значение магнитного поля, а го - радиус магнитной оси. Для описания тороидального поля в форме (А.0.8) выберем полоидальную координату естественным образом, ю = arctg , (А.0.11) г-го и — для определенности, — некоторую функцию q(i/j), например, в виде q = const. В этом случае компоненты магнитного поля (А.0.8) в цилиндрической системе координат имеют вид: R 2ZR Dr = Щ , Г Be = 2qB0, (A.0.12) 2(r-rp) Bz = Bq . Г Силовые линии такого магнитного поля действительно образуют поверхности (А.0.10), в чем легко убедиться прямой проверкой, трассируя уравнения (А.0.12). На рис. А.0.10 представлены результаты такой численной трассировки в сечениях 0 = 0, тг/6, 5тг/3, Птг/6 (по сути — сечения Пуанкаре для силовых линий; изображены следы 100 оборотов трех силовых линий в этих сечениях). Совершенно очевидно, что, отказавшись от аксиальной симметрии, но сохранив замкнутость поверхностей ф = const в полоидальном направлении, мы не нарушим тороидальную вложенность этих поверхностей. Введём, для примера, тороидальную гофрировку, модифицировав (А.0.10) следующим образом: t/> = В0((г - г0J+ //(#)), (А.0.13) где периодическая по 9 функция / неотрицательна. Тогда в соответствии с (А.0.8) компоненты магнитного поля приобретают вид 558 Прил. А. Замечания о топологии магнитного поля (В. И. Ильгисонис) в = 30 в= о 0,5 1,0 1,5 0 z 0,5 п п и,и 0 5 ,5 / [ ( \ \ 1 х«-— г ,0 «ч, J \ \ J у \ 1 1, 5 г в= 300° 0= 330° Рис. А.0.10. Результаты численной трассировки уравнения (А.0.12) при / = 1 в сечениях в = = 0, тг/б, 5тг/3, Птг/б; изображены следы 100 оборотов трёх силовых линий в этих сечениях = _J> 2(г - r0) - ^3 переходящий в (А.0.12) в пределе /^1. На рис. А.0.11 приведены результаты трассирования поля (А.0.14) в тех же сечениях, что и на рис. А.0.10, для функции /@) = 1 +0,3sin2<9 (А.0.15) Как легко видеть, данные поверхности, не обладая непрерывной симметрией, тем не менее, сохраняют вложенность в окрестности магнитной оси. Нетрудно предложить и пример магнитного поля, спадающего на бесконечности, но с магнитными поверхностями, охватывающими все пространство. Модифицируем (А.0.13), обеспечив согласование магнитного потока при г —> 0 и г —> оо: (А.0.16) - ехр Искомое магнитное поле, по-прежнему, дается (А.0.8); величины (р и f{0) заданы (А.0.11) и (А.0.15) соответственно. На рис. А.0.12 приведены сечения поверхностей (А.0.16) плоскостями О = 0 и О = Птг/6 с шагом по ф равным 5-10~2Д)г;). Итак, асимметричные замкнутые магнитные поверхности существуют, причём в некоторой части пространства (или даже всюду!) они вполне могут обладать топо- логией вложенных торов. Отдельно следует обсудить вопрос об их топологической Прил. А. Замечания о топологии магнитного поля (В. И. Ильгисонис) 559 в = 3(Г 9=0 и z ,5 / \ ( \ \ 1, ^-- / ч ^^ "-— 0 ) " ч л j 1 ,5 г 0,5 1,0 0,5 0,0 -0,5 1,5 0= 300° 0= 330° Рис. А.0.11. Результаты численной трассировки уравнения (А.0.15) для / в сечениях 9 = = 0, тг/б, 5тг/3, Птг/б; изображены следы 100 оборотов трёх силовых линий в этих сечениях -2,0 0,0 3,0 0,0 Рис. А.0.12. Сечения поверхностей (А.0.16) плоскостями 9 = 0 и равным 5 • 1О~2Д)Го -2,0 = Птг/б с шагом по ф, устойчивости. Общее представление (А.0.5) для магнитного поля позволяет сделать немедленный вывод о топологической неустойчивости конфигураций с замкнутыми силовыми линиями (А.0.3) и магнитными поверхностями (А.0.8), поскольку возмуще- ние общего вида (А.0.5) способно нарушить исходные частные представления (А.0.3) и (А.0.8). Система замкнутых силовых линий (А.0.3) наиболее неустойчива; на практике нарушение структуры магнитных поверхностей (А.0.5) также, как правило, связано с размыканием имеющихся в этой структуре замкнутых силовых линий 560 Прил. А. Замечания о топологии магнитного поля (В. И. Ильгисонис) - с расщеплением магнитной оси и/или рациональных магнитных поверхностей. При этом магнитные поверхности, в основном сохраняются, нарушается лишь их вложенность. Однако в некоторых случаях возможно, разумеется, и разрушение поверхностей как таковых с образованием стохастических слоев. Топологическая структура магнитного поля в плазме или в другой жидкой среде может меняться не только из-за внешних возмущений, но и из-за движения самой среды. Однако в хорошо проводящей среде такие изменения затруднены. В рамках идеальной магнитной гидродинамики представление (А.0.5) магнитного поля сохраняется при движении среды, и созданная в некий начальный момент времени структура магнитного поля эволюционирует без нарушения топологии си- ловых линий, которые могут сколь угодно сильно растягиваться, изгибаться и пр., но не рваться и перезамыкаться. Последнее возможно лишь за счет диссипативных процессов.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ЗАМЕЧАНИЯ О ТОПОЛОГИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
