Термин турбулентность используется обычно очень ши- роко почти как синоним любого стохастического процесса. Здесь мы не будем пытаться дать безупречное определение турбулентности, отметим только, что ха- рактерной чертой турбулентности является развитие в среде достаточно большого 8.4. О стохастичности процессов в плазме 453 числа неустойчивостей, ведущих к образованию иерархии нелинейных динамических структур и диссипации энергии макродвижения. Первые этапы изучения турбулентности. Турбулентные процессы начали ис- следоваться во второй половине XIX века О. Рейнольдсом A883 г.). Он изучал пере- ходы ламинарных течений в цилиндрических трубах в турбулентные (хаотические) и установил, что этот переход определяется величиной Re=-, (8.4.2) которая позднее получила название числа Рейнольдса. В (8.4.2) v, I — характерные значения скорости и масштаба потока, a v — кинетическая вязкость. Критическое значение ReKp, при котором происходит указанный переход, в круглых гладких трубах равно Re « 1800, если / = D/2, где D — внутренний диаметр трубки. Далее в течение многих лет наиболее популярной была вероятностная модель ста- ционарной турбулентности в однородной гидро(газо)динамической среде. Эта модель была развита на основе соображений подобия Колмогоровым и Обуховым A941 г.). Она исходила из предпосылки существования каскада вихрей разных масштабов, по которому идет перекачка энергии от вихрей большого масштаба ("запускающих" движение среды) к вихрям малого масштаба. Предполагается, что число Рейнольдса Reo, запускающее каскад вихрей Reo = ^ 1, а малого масштаба — Remin = ~ 1. V V При такого рода допущениях указанные авторы получили универсальную зависи- мость характерной скорости пульсации от волнового числа к в интервале Remin < <Re<Re0 [13]: v~k~5/3. (8.4.3) Эта зависимость хорошо подтверждается экспериментально в диапазоне изменения к на три порядка. Тем не менее, численное моделирование показало, что локальная зависимость v(k,x) носит фрактальный характер, и в отдельных точках потока отличие v от v может достигать больших величин. Мы не будем здесь останавливаться на специфических особенностях турбулентно- стей в газо-гидродинамике, а отметим здесь наиболее общие свойства турбулентных процессов. Подходы к изучению турбулентности. Обычно различают слабую и сильную турбулентность. К слабой турбулентности относят турбулентность волновых полей, слабо взаи- модействующих друг с другом (в виде распадов, слияний, рассеяния), и к которым применима гипотеза случайных фаз волн. Выше мы описывали динамический хаос в СПД и один из элементарных процес- сов, лежащих в основе турбулентности полей: слияние волн. Важной особенностью слабой турбулентности является относительно небольшая размерность N ее фазового пространства (N ^ 10). В той же модели Лоренца N = = 3. Сильная турбулентность может реализовываться по разным причинам. Сюда относятся: - гидродинамическая турбулентность при Reo ^> 1. В частности — турбулент- ность Колмогорова-Обухова; - динамика систем с сильно нелинейными волнами (например, ударными), кото- рые к тому же сильно взаимодействуют друг с другом; 454 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем - турбулентность при наличии многих солитонов, вихрей и других квазиавто- номных структур, размерность фазового пространства или число независимых возбужденных мод ^ 100. При изменении "управляющего параметра" переход от регулярного режима — воспроизводимого при одинаковых начальных и граничных условиях, к турбулент- ному — невоспроизводимому при равных условиях в начале и на границах, может происходить как плавно (это мы видели на примере Е. Лоренца и модели СПД), так и скачкообразно. Большая сложность и многообразие турбулентных процессов были причиной разработки ряда подходов к ее теоретическому моделированию. Основных подходов три: статистический, структурный и динамический. Статистический подход начал разрабатываться О. Рейнольдсом. В его основе лежит переход к усредненным характеристикам порождаемых уравнениями Навье- Стокса, которые в случае несжимаемой жидкости имеют вид (при постоянной вязко- сти) divv = 0; <9v I — + (vV)v = —Vp + z/Av. at p Представим теперь скорость и давление в виде регулярных величин U и Р, а кроме того хаотических добавок и и q Можем и написать div (U + и) = 0; ^(U + и) + ((U + и), V) (U + и) = -V(P + q) + z/A(U + и). (8А4) Предполагая, что существует функция распределения 0 и, усредняя по этому рас- пределению, получим при условии (и) = 0, (q) = 0: divU = 0; д (8.4.5) —U + (UV)U = -VP + z/AU - ((uV)u). Чтобы определить ((uV)u) надо умножить (8.4.5) на и и снова усреднить и т.д. Эта процедура аналогична переходу от кинетического уравнения к системе гидродинамических уравнений. Здесь, как и там, получается бесконечная система уравнений для определенных моментов. Она реально должна быть так или иначе оборвана, однако никаких априорных правил для этого нет. Поэтому, несмотря на то, что такой подход в комбинации с использованием либо теоретических, либо экспериментальных данных полезен, интерес к нему постоянно угасает, особенно в связи с появлением мощных компьютеров. Структурный подход к описанию турбулентности основан на выделении — в большей степени на основе экспериментальных наблюдений, неких структур, ди- намика которых описывается сравнительно простыми уравнениями. По сути этот подход был использован Е. Лоренцем. 1) На самом деле это должен быть функционал Ф[?7,х, t], где r\ = (v, P) — решения уравнений Навье-Стокса. Последовательно схема описания турбулентности с помощью веро- ятностного функционала была развита Хопфом. 8.4. О стохастичности процессов в плазме 455 Применительно к гидродинамической турбулентности речь идет о системе вихрей различающихся масштабом. Этот подход начал разрабатывать в 1922 году Л. Ричард- сон, предложивший конкретную модель передачи энергии от крупных вихрей к более мелким. В его модели исходное течение с Reo = vIq/v является неустойчивым и порождает вихрь с масштабом 1\ < /о и т.д. вплоть до Remin, при котором вихри устойчивы и разрушаются только вязкостью. Описанная ранее модель гидродинамической турбулентности Колмогорова- Обухова, очевидно, опирается на два указанных подхода: статистический и структурный. Отметим еще один из обнаруженных на опыте фактов. Оказывается, если мел- комасштабная турбулентность анизотропна или среда сжимаема, то развитая турбу- лентность может оказаться неустойчивой, и тогда наблюдается инверсия энергети- ческого потока: энергия идет от мелких масштабов к крупным. В частности, этот процесс ответственней за формирование планетарных вихрей, о которых речь пойдет в разделе 9.1. Динамический подход. Суть этого подхода в прямом решении уравнения Навье- Стокса, хотя для этого могут применяться те ли иные приближенные методы. Динамический подход сейчас становится доминирующим, и это, прежде всего, благодаря появлению мощных компьютеров и изощренных вычислительных про- грамм.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Турбулентность» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
