Выше речь шла о линейных волнах. Однако большую, а во многих случаях и определяющую роль играют нелинейные динамические структуры. Причем размеры их могут быть как порядка, так и существенно меньше характерных масштабов системы L. Наглядными примерами интересующих нас здесь структур может служить сет- ка локализованных возмущений, образующихся на тонком слое воды, текущей по асфальту, развитие перетяжки на Z-пинче, циклоны и антициклоны в атмосфере, в том числе Большое Красное Пятно на Юпитере, о котором подробнее будет сказано в следующей главе и др. Такого рода нелинейные образования, наблюдаемые в гидродинамике, газоди- намике и плазме 0, адекватно описываются модельными уравнениями, которые не только несравненно проще полных исходных уравнений, но часто имеют простые аналитические решения. Мы здесь рассмотрим модельные уравнения: Кортевега-де Фриза (КдФ), Чарни- Обухова D0) (и его эквивалент Хасегавы-Мимы (Х-М)) и одну модельную систему из двух уравнений — Чаплыгина-Трубникова (Ч-Т). Дж. С. Рассел Б. А. Трубников 8.3.1. Уравнение Кортевега-де Фриза. Солитоны [205-207]. Примером структур, описываемых уравнением КдФ, может служить упомянутая сетка "волн" на поверхности тонкого слоя воды. Уравнение КдФ, сделав ряд допущений, можно вывести формально из уравнений Эйлера, но его можно получить также, исходя из весьма простых соображений. Здесь мы воспользуемся вторым способом. А именно, ограничимся одномерным случаем, т.е. будем считать, что искомая функция и зависит от двух переменных (t,x) и является некой скоростью, смысл которой будет уточнен ниже. Мы хотим, чтобы 1) Сюда относятся и менее очевидные объекты — например, нервные импульсы, распро- страняющиеся по нейронам и др. 440 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем уравнение для u(t,x) описывало уединенные нерасплывающиеся образования, т.е. среди прочих имело место решение типа и = и(х - at). (8.3.1) Такого рода решения автоматически реализуются в средах без дисперсии, т. е. когда J1 =а2я2, (8.3.2а) и все гармоники имеют одну и ту же фазовую скорость. В этом случае уравнение для и имеет вид о о 9^ + ар = 0. (8.3.26) dt дх Ну а если есть слабая дисперсия, но нет диссипации, то дисперсионное уравнение для и должно иметь вид о о о J1 = У+ахЧ..., (8.3.3а) т. е. квадрат частоты должен разлагаться по четным степеням волнового числа. Фи- зически это означает, что поведение возмущений не должно зависеть от направления его распространения. Из (8.3.3а) следует, что со = ая + Ъя3 + ..., Ъ=?-. (8.3.36) 2а Этому дисперсионному уравнению соответствует дифференциальное уравнение ди ди 1 д3и л /п о ,ч ---а--+6--,=0. 8.3.4 dt дх дх3 Если из гармоник этого уравнения сделать пакет, то он будет растекаться. Чтобы предотвратить этот процесс, нам нужен некий "собирательный" фактор. И такой фактор в гидродинамике хорошо известен. Этот эффект связан с тем, что в уравне- нии Эйлера, в левую часть, входит нелинейный член vdv/dx 0. Поэтому, заменив в (8.3.4) постоянную величину а на и, получим, как мы вскоре убедимся, уравнение с нужным нам свойством ди ди д3и л /о о гч dt дх дх6 Это уравнение было получено в 1895 году Кортевегом и де Фризом из уравнений Эйлера, применительно к возмущениям тонкого слоя воды, о котором мы упоми- нали выше. Уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) выводятся для многих случаев, в частности ионно-звуковых, ленгмюровских и альфвеновских возмущений в случае плазмы и аналогично для других сред. Заметим, что если /3 = —/3, где /3 > 0, то, сде- лав замену и —> — и, х —> —х, мы получим в точности уравнение (8.3.5), но с заменой /3 на /3. Такая замена соответствует переходу от волны, распространяющейся вправо, к волне, бегущей налево. Стационарные решения уравнения КдФ. Будем искать решение (8.3.5) в виде и = и(х — at). Учитывая, что в данном случае ди 1 ди дх a dt' 1) Именно благодаря этому члену в уравнении Эйлера гармоническая звуковая волна достаточно большой амплитуды спустя некоторое время превращается в цепочку ударных волн [13]. 8.3. Модельные уравнения "автономных" плазменных структур 441 можно записать уравнение (8.3.5) в виде обыкновенного дифференциального уравне- = 0. (8.3.6а) Проинтегрировав один раз, получаем d2U U2 (Qoa*\ Ртг~2 + ~^ аи = ^1- (о.о.DO) Без ограничения общности — просто добавив к и постоянное слагаемое, можно считать С\ = 0, а уравнение (8.3.66) записать в виде дх2 dw ди ' где аи и 3 w = —- 5.3.7а) (8.3.76) По своей форме (8.3.7) полностью аналогично уравнению движения материальной точки массой C в потенциальной яме w(u). Форма этой "ямы" изображена на рис. 8.3.1. Очевидно, здесь колебания будут носить гармонический характер, если величина и близка к 2а. Однако по мере роста амплитуды форма колебаний все боль- ше будет отличаться от синусоидальной. Наконец, когда амплитуда станет настолько велика, что будет достижима точка и = 0, то график и(х) выродится в одиночный горб — "солитон" (от "solitary wave"), рис. 8.3.2. И это понятно, поскольку, начиная двигаться в сторону и > 0 от точки близкой к и = 0, частица долго будет набирать скорость", а затем, скатившись, отразится от противоположной стороны ямы и снова бесконечно долго будет приближаться к х = 0. Уравнение профиля солитона имеет и = 2 i х — at (8.3.8) ch Здесь Ъ — характерная ширина солитона. Амплитуда солитона скоростью и шириной соотношениями г^о = За, Ъ2щ = 12/3. связана с его (8.3.9) w3=0 Щ JUUY \ W3 Рис. 8.3.1. График эффективного потенциала w(u) Рис. 8.3.2. Графики колебаний и(х) при разных эффективных энергиях 442 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем Свойства солитонов. На первый взгляд может показаться, что солитоны — экзотические и малоинтересные объекты. Однако это не так. Прежде всего, обращает на себя внимание их автономность. Они существуют в принципе бесконечно долго на фоне однородной среды. В этом смысле они аналогичны вихрям в идеальных условиях. Наглядно об этом говорит устойчивая сетка возмущений на мелкой воде. В современных оптических волокнах связи световой солитон может проходить рас- стояние без серьезных потерь своих характеристик порядка 5 тысяч километров. Неожиданными оказались результаты столкновений солитонов, обнаруженные в процессе численных расчётов. Если скорости солитонов сильно различаются, то происходит своеобразное прохождение одного солитона через другой. Точнее, в это момент возникает "двухсолитонное" состояние, которое несколько позднее распа- дается на два солитона, в точности совпадающих с начальными. Поэтому внешне картина выглядит так, как будто бы солитоны прошли друг через друга. При малой относительной скорости, когда более быстрый солитон (соответственно с большей ам- плитудой (8.3.9)) догоняет более медленный, то на малом расстоянии более быстрый солитон через соединяющую их перемычку "переливает" часть возмущения в более медленный. В результате медленный солитон ускоряется, а быстрый - замедляется (рис. 8.3.3). Рис. 8.3.3. Двухсолитонное взаимодействие Весьма своеобразно происходит и распад произвольного начального возмущения в модели КдФ. Оно превращается в цепочку солитонов убывающей амплитуды, с малым квазигармоническим "хвостиком" (рис. 8.3.4). Солитонам посвящена огромная лите- ратура. Для более подробного знакомства с солитонами можно рекомендовать книги [205-207]. Об истории открытия и изучения со- литонов. Эта история весьма необычна ~ЗГ и о ней рассказывают во всех книгах о со- литонах. Последуем их примеру. Рис. 8.3.4. Распад произвольного началь- История начинается в августе 1834 г., ного возбуждения достаточно большой ам- когда ш такое явление об внрша_ плитуды о~ J ние 26-летнии выпускник университета в г. Глазго Джон Скотт Рассел A808-1882). Это была выдающаяся личность, о чем говорят хотя бы два факта. Во время учебы 8.3. Модельные уравнения "автономных" плазменных структур 443 в Глазго он посещал лекции еще в двух университетах Сент-Эндрюс и Эдинбургский. А потом в 1860-х годах руководил постройкой самого большого корабля XIX века 'Трэд Истерн", с помощью которого была осуществлена первая прокладка телеграф- ного кабеля между Европой и Америкой. Но вернемся к 1830-м годам. После окончания университета Д. С. Рассел по- лучает задание изучить пропускную способность канала Юнион, который входит в систему каналов, соединяющих восточное и западное побережья Шотландии. И вот как был обнаружен солитон "на мелкой воде". "Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась, но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась; вместо этого она собралась около носа судна в состояния бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью, и принимая форму большого одиночного возвышения, т. е. округлого гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и когда нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или десять миль в час, сохраняя свой перво- начальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала..." И далее. "Это самое прекрасное и необычное явление; день, когда я впервые увидел его, был лучшим днем моей жизни". Вот так... Д. С. Рассел глубоко верил в большое будущее солитонов и многократно об этом писал. Однако только в 1895 году появилась статья Кортевега и де Фриза, в которой из общих уравнений гидродинамики было выведено то уравнение, которое мы теперь называем уравнением КдФ. И оно также не привлекает особого внимания, оставаясь известным узкому кругу специалистов. Такое "почти безразличие" к солитонам и уравнению КдФ продолжалось до 60-х годов XX столетия. Здесь первым толчком были исследования численным методом релаксации колебаний в ангармонических цепочках, выполнен- ные Ферми, Пастом и Уламом, которые обнаружили странный - для представлений того времени эффект "нерелаксирующих" колебаний. Этот парадокс стимулировал исследования свойств уравнения КдФ, и в 1967 г. появилась работа Гарднера, Грина, Крускала и Миуры, в которой было показано, что существует аналитическое решение задачи Коши для этого уравнения, основанное не тесной связи исследуемого уравнения с квантовой механикой, и что задача его реше- ния может быть сведена к решению линейного интегрального уравнения Гельфанда- Левитана-Марченко для обратной задачи квантовой теории рассеяния. Под обратной задачей здесь понимается восстановление формы потенциала в уравнении Шредин- гера по данным рассеяния на этом потенциале "зондирующими частицами". Это открытие позволило не только решить в полном объёме уравнение КдФ, но и ряд других нелинейных уравнений, играющих важную роль в самых различных областях физики. В последующем, отталкиваясь от работы Крускала с сотрудниками, удалось создать стройную и весьма общую науку об интегрируемых нелинейных уравнени- ях в частных производных. Здесь велика заслуга наших физиков и математиков В. Е. Захарова, С. П. Новикова, Л. Д. Фаддеева, А. Б. Шабата. Применительно к проблемам физики плазмы следует отметить разработку тео- рии сильной ленгмюровской турбулентности на основе концепции ленгмюровских солитонов (А. С. Кингсеп), а также выявление роли солитонов во многих других плазменных процессах.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Модельные уравнения "автономных" плазменных структур (" автоструктур ")» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
