Рассмотрим плоские двумерные течения в декартовых координатах (х, у), считая, что магнитное поле направлено вдоль оси z. Таким образом, имеем vz = 0; Нх = = Ну = 0; d/dz = 0. Кроме того учтем, что при а —> оо закон Ома с учетом эффекта Холла можно записать в виде -[v,H]-—Ц,Н]. (8.2.17а) с епс Взяв от этого уравнения rot, получим дН | dvxH | dvyH _,\„1 dt дх ду s [ р 8тг Здесь учтено, что при сделанных допущениях При этом ? = М/4тге. Мы вводим это обозначение как указатель на холловский член. В результате нужная нам система уравнений принимает вид: ^ + ^0; (8.2.18а) дх ду 8.2. Примеры специфических МГД возмущений плазменных систем 435 р^ = .^(р+ё1). (8.2.186) dt ох у отг у dt vy \ 8тг у дН дНи dHv Я [дрдН дрдН\ л ,ооюч dt дх ду р2 \дх ду ду дх и = vT: v = vv\ Я = где d а э д dt dt ' дх ' %¦ Особенностью двумерного течения поперёк магнитного поля является вырожден- ный характер эффекта Холла (8.2.18г): в написанных уравнениях члены, обязанные эффекту Холла, содержат лишь первые производные по координатам, тогда как в общем трёхмерном случае они содержат вторые производные. Заметим также, что холловские члены всегда нелинейны по первым производным в отличие от всех остальных слагаемых уравнений (8.2.18). Оба указанных обстоятельства играют роль в дальнейшем рассуждении: вырождению обязана простота получения основно- го результата, а нелинейность является причиной неэволюционности уравнений. Для исследования устойчивости течения линеаризуем указанные уравнения. Ко- эффициенты полученной системы линейных уравнений положим постоянными, по- скольку речь идет о мелкомасштабных возмущениях, которые можно рассматривать локально, в малой окрестности любой точки, "заморозив" в этой точке значения коэффициентов. При линеаризации нелинейных холловских слагаемых в (8.2.18г) производные невозмущенного решения играют роль коэффициентов, и их также следует считать постоянными. Если отметить малые возмущения индексом " (рх, их, v\, Hx), то после линеа- ризации уравнений (8.2.18) получим dpx , (дщ dv\\ dux , с2 дрх , Я дН\ dt у дх ду J dt p дх Аир дх cl if + л^ р ду 4тгр ду Н дНх л ? , тгр ду Я (др дЩ _ дрдЩ 9Я др± _ 9Я др± \ = д д д д д д д д I н [дщ дщ \ Я (др дЩ _ дрдЩ 9Я др± _ 9Я др± \ = dt \дх ду I V I дх ду ду дх ду дх дх ду I (8.2.19а) Решение этой системы уравнений ищем в виде плоских волн exp{icjt + ix\x + -{-гщу}. Важной особенностью системы (8.2.19) является наличие в ее членах только производных первого порядка от параметров возмущений (р, v\, их, Н\). Благодаря этому частота и линейно зависит от модуля волнового числа u = Wx. (8.2.196) Направление плоской волны определяется единичным вектором х° = х/\х\, поэтому можно записать где т — направление вдоль фронта волны, ортогональное >с°. Наконец, если поло- жить W + Vx= z, то дисперсионное уравнение, связывающее и, щ и Х2, принимает ^cz + ^0 (8220) р2 dTz cmz+ p2 дт I -О, {Ь.2.20) 436 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем Н2 Н2 4 4+ Р+ ГДе4г = 4+; Р^ Условием корректности задачи Коши для систем (8.2.18) и (8.2.19) является, очевидно, неравенство %и = k ImA = к Imz > const (8.2.21) при любых действительных н\, к\ и к > 0. При конечных значениях к решения Z всегда конечны, поэтому практически нужно требовать выполнения условия (8.2.21) при к —> оо. Коэффициенты уравнения (8.2.20) действительны и не зависят от к. Поэтому если уравнение имеет два комплексно сопряженных корня, то для одного из них Im Z < 0 и Imw ^ —оо при к —> оо, т.е. условие (8.2.21) не выполняется. Отсюда следует, что корректность задачи Коши эквивалентна действительности всех трех корней уравнения (8.2.20). Известно, что все корни уравнения z3 + pz2 + qz + г = 0 с действительным коэффициентами действительны тогда и только тогда, когда дискриминант D = p2q2 + ISpqr - Dp3r + 4q3 + 27г2) > 0. (8.2.22a) В применении к уравнению это значит D = 4gY2 + (c4m + I8c2mg - 27g2)Y + 4с6т, (8.2.226) где Y = dp дт (8.2.23а) Элементарное исследование квадратного трёхчлена (8.2.22) показывает, что необхо- димым условием устойчивости, т. е. D ^ 0 при др/дт —» 0 является условие -27g2Y2 + 4cbm > 0. (8.2.236) Действительно, при др/дт —> 0 величины м, следовательно, все члены в правой части (8.2.226), кроме (8.2.236), исчезают. Подставляя в (8.2.236) (8.2.23а), получаем необходимое условие устойчивости dTj , _, , —™- (8-2.24) Это условие всегда выполняется при отсутствии эффекта Холла и если VP||p. Последний случай реализуется, например, в равновесных конфигурациях. Если это условие не выполнено, бездиссипативная конфигурация неэволюционна, т.е. стоит ей возникнуть, как она "взрывается" [204]. Такие выводы были первона- чально обнаружены при численных расчётах двумерных течений с учетом эффекта Холла и достаточно высокой проводимостью вблизи анода, где за счет прианодного скольжения (см. п.7) угол между VP и Vp особенно велик. Позднее было показано, что такие взрывы можно получить в любых местах канала, где сильнее проявляется непараллельность VP и Vp. Неэволюционность исчезает, если рассматриваются трёхмерные конфигурации или если а ф оо. В этих условиях мы имеем "нормальные" неустойчивости. Они про- 8.2. Примеры специфических МГД возмущений плазменных систем 437 являются не только в коаксиалах со сплошными электродами, но и в магнитосфере Земли (раздел 9.2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Холловская неэволюционность плоских течений идеальной плазмы» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
