Одной из универсальных форм движе- ния сплошных сред является конвекция, обязанная наличию градиента температуры. Большую роль конвекция играет в атмосфере, в водных объёмах и в ПДС, в которых градиенты температур обычно особенно велики. В данном пункте мы рассмотрим сначала критерий устойчивости слоя неравномерно нагретого обычного газа в поле тяжести, а затем условия устойчивости плазмы с C <С 1 в магнитных полях открытых ловушек и ловушек с замкнутыми магнитными силовыми линиями. Условия конвекции газа (рис. 8.1.2). Выделим на высоте z\ малый объём V\ и обозначим дав- ление и плотность в нем через р\ и р\ и пред- положим, что он медленно смещается вверх на расстояние 5z и приобретает объём V<}. Давление и плотность окружающего газа на этой высоте обозначим через р2 и 92- Теперь плотность газа g / / \/ / / в рассматриваемом объёмчике будет определяться ~ уравнением адиабаты 7 Р% 7 /о 1 7\ 9\\ = —9\ • (о.1./) Pi Рис. 8.1.2. К выводу условия устой- 3Десь учтено, что в объёме V2 давление равно чивости по отношению к конвек- внешнему давлению. Если ции неоднородного нагретого газа Р\\> 92, то состояние газа устойчиво, поскольку объёма V^ будет иметь удельный вес больше, чем окружающий газ. Если же р\\ < 92, то V2 будет более легким и "всплытие" будет продолжаться. 8.1. Гидродинамические и плазменные неустойчивости 421 Учитывая, что Р_ Р7 (8.1.8) мы видим, что конвекция в среде отсутствует, если энтропия с высотой растёт [13]. Конвекция редкой плазмы в МГД модели при замкнутых магнитных силовых линиях. Об этой конвекции уже шла речь в разделе 1.7, где она рассматривалась с помощью дрейфовых уравнений [194, 195]. Здесь же опишем ее гидродинамически [196]. Рис. 8.1.3. К выводу условия неустойчивости плазменной конфигурации с замкнутыми сило- выми линиями На рис. 8.1.3 схематически изображена конфигурация с замкнутыми силовыми линиями — для определенности поля кольца с током. Выделим произвольную маг- нитную трубку с редкой плазмой (/3 <С 1). Предполагая, что известен удельный объём магнитных трубок ' |, (8.1.9) давление плазмы вдоль силовых линий — постоянное в силу (раздел 2.4). Давление во всем плазменном объёме можно представить как функцию двух аргументов = p(U,a) (8.1.10) Здесь а — любой параметр, например, азимут, вместе с U фиксирующий магнитную силовую линию. Если система осесимметрична, то для координации магнитной сило- вой линии достаточно одного параметра U. Ограничимся этим случаем. Обобщения на трёхмерных случай очевидно. Считаем, что к периферии ловушки U растёт. Если теперь предположить, что произошла перестановка между положениями А и В двух магнитных трубок с одинаковыми магнитными потоками, но разными U, то масса в каждой из трубок не изменится из-за вмороженности, а изменится давление в соответствии с уравнением адиабаты p\U? =pnU^ = const. Если изменённое давление р\ —>рц будет меньше, чем в равновесной конфигурации (Р2Б) на месте нового положения трубки, то трубка не будет расширяться дальше, и конфигурация устойчива. Этот критерий устойчивости обычно пишется в виде (Б. Б. Кадомцев, [194]) dU и (8.1.11) 422 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем Отсюда следует, что для устойчивости необходимо, чтобы энтропия конфигурации росла с увеличением U. Примеры. 1. Z-пинч. Как уже оговаривалось, полученный критерий (8.1.11) справедлив только для редкой плазмы. Поэтому он может быть пригоден только для периферии стационарного диффузного Z-пинча. В этой области /о 1 ю\ Т)(8.1.12) Подставляя это выражение в (8.1.11), получим PoUoo > Лг-2т. (8.1.13) В частности для одноатомного газа 7 — 5/3 и закон спада на грани устойчивости ро-г-10/3. (8.1.14) Таким образом, даже при достаточно крутом спаде давления, Z-пинч может быть устойчив по отношению к конвекции. Однако с более резкой границей плазма-поле Z-пинч неустойчив. Если, используя энергетический метод (см. п. 8.2.1), решить задачу об устойчи- вости Z-пинча без ограничения на плотность плазмы, то получим критерий устойчи- вости в виде ^>"Н^- (8.1.15) d In r 2 + 7/3 Если /3 = Snp/H2 —> 0, то этот критерий совпадает с (8.1.14). Если теперь учесть уравнение равновесия Z-пинча (п. 2.4.2), то можно получить следующие параметрические формулы для риг, при которых пинч еще устойчив к перетяжкам [196] ( (8ЛЛ6) Здесь /3 = 8тгр/Н2, ро — давление плазмы в центре шнура, а — некий характерный радиус шнура. Нетрудно видеть, что при /3^0 радиус г неограниченно растёт, а давление при наличии равновесия р~^. (8.1.17) 2. Диполь. Магнитное поле Земли на не слишком больших расстояниях от нее близко к дипольному. В этой зоне существуют радиационные пояса 0. Эти плазмен- ные образования, хотя и подвержены периодическим возмущениям под действием солнечного ветра или в результате переполнения захваченными частицами, тем не менее, могут считаться устойчивыми. Особенно наглядно их устойчивость была проявлена в 1980-х годах, когда небольшая комета врезалась в Юпитер. Юпитер также обладает магнитным полем дипольного типа. Наблюдения с Земли показали, что плазменные конфигурации поясов и магнитосферы в целом сохранились. Эта устойчивость поясов подтолкнула японского астрофизика Хасегаву предложить плазменную ловушку в виде левитиру- ющего сверхпроводящего кольца. Эта ловушка под названием "Диполь" сооружается сейчас в США (рис. 10.5.9).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Конвективные неустойчивости» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
