Исходными являются выражения для 5 - скорости перемещения плоской поверхности по нормали в результате распы- ления 6 = NnS0(eMa,e). G.4.1) Рис. 7.4.3. Схема "прижатого" раз- ряда: 1, 3 — электроды, 2 — ди- электрик, 4 — разряд 7.4. Примеры пограничных процессов с участием тяжелых частиц 389 Здесь Щ — нормальная плотность потока частиц, So — коэффициент распыления при нормальном падении, Ф(а,г) — угловой фактор (Ф@, г) = 1), а — угол падения, г — энергия падающих частиц. В дальнейшем будем считать, что профиль зависит только от одной координаты х. Его мы обозначим через z = z(x,t). G.4.2а) Если и — угол между направлением падения ча- стиц и плоскостью z = const, то угол падения их на элемент поверхности (рис. 7.4.4) z . Учитывая, что dz уравнение G.4.1) можно записать в виде at cos G.4.26) G.4.2b) Рис. 7.4.4. Взаимное положение уг- лов a, f3 и и при падении частиц на G 4 Ч^ неплоскую поверхность (пояснение к формуле 7.4.26) Если Щ, So, Ф, ио не зависят от х, то уравнение G.4.3) имеет вид z = F(z'). В противном случае z = F(x,zf). ие G.4.3) ди д(р(и) G.4.4а) G.4.46) Если продифференцировать уравнение G.4.3) по х, то получим изучавшееся многими математиками уравнение Пи rltnl it \ = 0. G.4.5) Ot Ox Здесь и = dz/dx. Простейшим вариантом этого уравнения является уравнение дви- жения газа с нулевое температурой % + ~=о. Хорошо известно (см. например, [9]), что решения этого уравнения даже при глад- ких начальных условиях могут иметь особенности (разрывы). Тем более для этого создаются предпосылки при немонотонной зависимости Ф(и). Общее решение уравнения G.4.4а) находится методом характеристик, которые определяются уравнениями dx _ dF(q) dz _ dt dq ' dt F{q) = F{z%, Проинтегрировав систему G.4.6), получаем dF dq J~dqJ ~dt = 0, X = dF ~;—t dq = - F-q dF G.4.6) G.4.7a) 390 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел Здесь хо и zo — интерпретируются как координаты поверхности при t = 0. Отсюда следует параметрическое представление искомой поверхности -<Ш<). G.4.7., Исключив из этой системы q, найдем уравнение поверхности z = z(x,t). Из G.4.7а) видно, что можно говорить о перемещении при эрозии точек профиля со скоростями ? (?) Учитывая сложность общего решения, мы ограничимся здесь кратким рассмотре- нием только стационарных процессов, частным случаем которых является образова- ние щучьего языка. Стационарные структуры. Уточним термин. Под стационарными структурами будем понимать такие модификации поверхности, которые не изменяют со временем своей формы и только перемещаются как целое. Из G.4.7) видно, что возможны разные стационарные изменения поверхности. а) Поверхность может однородно "опускаться". Этому случаю соответствует q = 0, zo = O, z = F(O)t. G.4.9) Более общим решением этого типа является эрозия однородной наклонной площадки zo = qx, zf0 = q = const. G.4.10a) В этом случае (^)K) GА10б) б) Для возникновения нетривиальной самоподобной поверхности эрозии должно существовать, как видно из общего решения G.4.8) несколько значений q^, удовле- творяющих условию №Л '--,??) =¦¦¦¦ G.4.116) Этим условиям можно придать весьма наглядную форму в виде "правила касатель- ной". А именно. Пусть в точках q^ характеристические скорости одинаковы. Тогда условие равенства ж-компонент этой скорости G.4.11а) будет условием равенства углов наклона касательной к кривой F(q) (рис. 7.4.5). А условие G.4.lib) означает, что все значения q^, которым соответствует одна и та же характеристическая ско- рость, являются координатами тех точек Fk на кривой F(q), которые лежат на одной прямой, касательной во всех этих точках к F(q). Этот геометрический критерий, эквивалентный условиям G.4.11) назовем "правилом касательной".
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение кинематики ионного распыления» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
