Проиллюстрируем сказанное на примере первого изученного погранслоя, а именно вязкостного пограничного слоя в несжимаемой жидкости, описываемого уравнениями Навье-Стокса. Простейший пример такого слоя является слой, образующийся при обтекании однородным (в ядре) потоком полубесконечной плоскости (рис. 7.1.1). Практически точно этот слой был рассчитан в 1908 году Блазиусом на основе общих уравнений для вязкостных погранслоев, полученных ранее Прандтлем путем некого упрощения уравнений Навье-Стокса. Это решение имеет вид (см., например, [13, 162]) G.1.1) где г>о — скорость набегающего потока, v — кинетическая вязкость, у = 0 соот- ветствует полуплоскости, координата х отсчитывается от границы полуплоскости. Функция /(?) подчиняется весьма экзотическому уравнению по 0,8 0,4 0 1 2 3 4 Рис. 7.1.2. График функции /'(?) .— —• Рис. 7.1.1. Течение вязкой жидкости около полуплоскости (модель Блазиуса-Прандтля): 1 — условная граница пограничного слоя; 2 — зависимости скорости от расстояния до полу- плоскости и граничным условиям //" + 2/'" = О /@); /'@)=0; /'(оо) = G.1.2а) G.1.26) Зависимость производной /х(<^) от ? изображена на рис. 7.1.2. В окрестности ? = 0 функция /(?) аппроксимируется формулой: G.1.3а) Здесь а = 0, 332. Отсюда видно, что при у = 0 выполняются два граничных условия vx=0 и vy = 0. G.1.36) Таким образом, рассматриваемое решение удовлетворяет не одному, как в случае уравнения Эйлера, граничному условию "непроницаемости плоскости" 7.1. Введение 347 но также условию прилипания потока к полуплоскости Очевидно, это эффект вязкости. При ? —> оо справедлива аппроксимация | | G-1-4а) о о Постоянная /3 = 1,72, Ф(з) — интеграл ошибок s () ^ V71" о Из G.1.1) и G.1.4а) следует, что при ? ^ 1 ^ -> ^Ф(е) -> ад vy -> 0. О G.1.46) Далее, приняв за границу погранслоя некое значение ?*, видим, что ширина у* погранслоя возрастает при увеличении х, как л/х, так как в силу G.1.1) ^ = const. G.1.5) Такое поведение толщины погранслоя связано с диссипативным характером вязкости, ответственной за этот погранслой. Наконец заметим, что при ? > 1 первой формуле G.1.46) можно придать более наглядный вид, учитывая, что Л 1 ехР{-е2}\ v - Щ 1 1= - Течение Прандтля-Блазиуса в линейном приближении. В линейном приближе- нии картина становится более наглядной, если рассматривать течение сжимаемого газа. Тогда система уравнений Навье-Стокса имеет вид (если пренебречь "второй" вязкостью) i ^- + (vV)v) = -Vp + z/pAv, p = p{p). G.1.6a) Линеаризация этой системы приводит к уравнениям ^т +»0n- j Pi +podivv1 =0, ро ( — + vo~q- J vi = -CyVpi + ^/90Avi. G.1.66) 348 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел Нетрудно убедиться, что эта система расщепляется на две системы (v = vi + v2): о °dxJ ' G.1.7а) pi=0; divwi=0; ( — + vo-^- J w\ = uAw\. G.1.76) Первая из них — гиперболическая, описывает течение vi в ядре потока и о которой говорилось в разделе 2.2. Вторая система — параболическая, и она описывает течение wi в погранслое. Общее решение в рассматриваемой области имеет вид v = vox° + vi + awi. G.1.8) Коэффициент а должен определяться из граничных условий. Однако, учитывая, что погранслой реально описывается нелинейным уравнением @ < v < vmax), определе- ние а достаточно условно. Применительно к стационарному течению около бесконечной полуплоскости мож- но считать vi = 0, а линейное уравнение G.1.7) можно записать в виде дх ду1 Здесь мы пренебрегли членом d2w\x/ дх2, из-за его малости (при малых и) по сравнению с d2w\x/ду2. Если на плоскости считать vx = 0, что для линейного приближения грубо, но для асимптотики разумно, то в качестве граничного условия для w\x надо взять wix\y=o = -vo- G-1.10) Уравнение G.1.8) с граничным условием G.1.10) даёт для vx = vq + w\x выражение, полностью аналогичное классическому решению задачи об остывании полуограни- ченного стержня, равномерно нагретого до температуры То, благодаря включению при t = 0 холодильника, поддерживающего на конце стержня постоянную темпера- туру Т = 0. В этом случае G.1.11) Здесь t — время, х — координата сечения стержня, а к, — коэффициент температу- ропроводности 0. Заменив Т на vx, Tq — на (vq), x — на у, к — на v/vq, a t на х, мы получаем нужное нам решение G.1.4). Из всего сказанного выше вытекают три следствия. 1. Линейное приближение правильно описывает асимптотику возмущения потока, вызванного ТТ. 2. Число типов линейных волн, появляющихся в модели, равно числу граничных условий, которые нужно ставить в данном случае на поверхности ТТ. 3. Ширина погранслоя определяется кинетикой частиц, так как в силу G.1.5) f* ~>/Аж, G.1.12) Соответствующее уравнение теплопроводности имеет вид dT/dt = кд2Тjдх2. 7.1. Введение 349 где Л — длина свободного пробега частицы, поскольку (п. 5.2.1) Таким образом, классический вязкостью пограничный слой принципиально связан с внутренним масштабом среды. Очевидно, что отмеченные особенности погранич- ного слоя носят общий характер и они применимы, при естественных оговорках, и к плазменным системам. Но вернемся к гидродинамическому погранслою. Очевидно, в общем случае, к уравнениям Навье-Стокса G.1.6) надо добавить уравнение теплопроводности, а это позволит поставить еще одно граничное условие на поверхности ТТ — например, его температуру То 7 1г = 7о- Однако, за пределами гидродинамического описания пограничного слоя остается один принципиально важный момент. Он связан с тем, что уравнение Навье-Стокса не описывает того, что происходит непосредственно вблизи ТТ, в пределах, так на- зываемого "кнудсеновского подслоя", толщина которого 5к порядка длины свободного пробега частиц потока $к ^ А. А здесь происходят два важных процесса. Во-первых, благодаря столкновению ча- стиц потока с поверхностью, функция распределения этих частиц /(~)(v,x) превра- щается в иную функцию распределения отраженных частиц /(+)(v,x) свойства которой определяются микроструктурой поверхности ТТ. В частности, обращение в нуль макроскорости потока на поверхности ТТ может быть следствием изотропного диффузного рассеяния падающих частиц. Но отражение бывает и более сложным. Происходящие в кнудсеновском подслое первые столкновения частиц друг с другом, подготавливают максвеллизацию частиц в области Навье-Стокса. Учесть все это можно только переходя к кинетическому уравнению Больцмана и соответ- ствующим этому уравнению граничным условиям (см.ниже). Подводя итог краткой характеристике области взаимодействия потока с ТТ в газо- динамике, представим ее графически в виде 5 слоев (рис. 7.1.3). Здесь I — толща ТТ, которая может разрушаться при большой энергии частиц и плотностях потока, II — "атомарный слой" ТТ, непосредственно испытывающий столкновения с частицами потока, III — кнудсеновский подслой, IV — вязкостный пограничный слой, V — ядро потока. V Рис. 7.1.3. Характерные слои гидродина- мической пристеночной области: I — твёр- дое тело; II — наружный "атомарный" слой ТТ; III — Кнудсеновский подслой; IV — вязкостный пограничный слой, V — ядро потока Мы рассмотрели простейший случай ламинарного погранслоя. В реальных усло- виях картина чаще бывает нестационарной, но основные качественные черты, опи- санные здесь, обычно сохраняются.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Пограничный слой Прандтля-Блазиуса (гидродинамика Навье-Стокса)» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
