После знакомства с основными "элементарными" процессами взаимодействия частиц друг с другом и с фотонами перейдем теперь к описанию динамики совокупности частиц, и фотонов. Мы начнем с описания кинетики фотонов, как наиболее прозрачной по своей логике. В разделе 3.5 рассматривалось дисперсионное уравнение для волн в двухкомпо- нентной плазме и было видно, что при частотах 00 > UJQ, 6.4. Уравнение переноса излучения (кинетика фотонов) 295 где uoq — плазменная частота, волны перестают чувствовать плазму и подчиняются уравнению 9 9 9 Очевидно, этот предельный переход носит общий характер и не зависит от конкрет- ной модели плазмы. По мере роста uj энергия фотонов растёт, и с некого уровня, зависящего от состава плазмы, они начинают играть важную роль в процессах трансформации частиц, а также в переносе энергии. Для ориентировки в масштабах параметров отметим, что длина волн в желтом дуплете натрия 600HM. Это соответствует частоте и энергии = 3 • Ю с, гш = П « 2эВ Заметим, что ленгмюровская частота uoq равна и^а при плотности Пш ~ -Ю22СМ~3. Таким образом, между интересующим нас диапазоном плотностей и плотностью Na лежит большой промежуток величин. Поскольку учёт электромагнитного измерения "трансформационного" уровня ча- стот часто необходим, встает вопрос о наиболее простом их описании. Благодаря относительно малой длине волны этих излучений, вместо волнового уравнения обыч- но используется лучистое приближение, т. е. по сути, уравнение кинетики фотонов. Для описания кинетики фотонов необходимо, как и в случае частиц, ввести 6- мерное фазовое пространство Г7 = (х, к), где к — волновой вектор (|к| = и/с) или, что эквивалентно, пространство Г7 = (х, о;, Л), здесь Г2 = k/|k| — единичный вектор, вдоль направления распространения волны 0. Скорость света (фотонов) ниже считается постоянной, поскольку в интересующем нас диапазоне плотностей диэлектрическая постоянная ?± ~ \, так как частота ленгмюровских колебаний uiQe <w - частоты света. Аналогично D.1.2) может быть определена функция распределения фотонов в фазовом пространстве 5N ,a;,«) = —, 6r Однако обычно вместо функции распреде- ления F пользуются понятием интенсивности потока 1Ш F.4.1) 1Ш = cF(t, х, о;, П). F.4.2) Нормаль Эту величину можно определить, не прибегая к квантовым представлениям, как количество энергии, пронизывающей единицу площади за единицу времени внутри единичного телесно- го угла перпендикулярно выбранной площадке (рис. 6.4.1). Интенсивность излучения 1Ш можно связать с плотностью энергии излу Рис 6ЛЛ к определению интенсивно- сти излучения *) Здесь волновой вектор будет обозначаться в виде к с тем, чтобы избежать путаницы с коэффициентом поглощения. 296 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением чения данной частоты иш, которая аналогична плотности частиц с данной энергией. Для иш имеем иш = - \ljn)dn, F.4.3) с J где интегрирование проводится по всему телесному углу, в котором распространяется излучение. Наряду с 1Ш и иш важной характеристикой поля излучения является лучистый поток S^, определяемый следующим образом: S^= \ I^ftdft, F.4.4) D7Г) Для дальнейшего нам понадобятся оптические характеристики вещества. По существу мы уже ввели их выше при рассмотрении отдельных механизмов излуче- ния. Здесь они будут записаны в самом общем виде, без конкретизации механизма излучения. Пусть q^ duduo — количество энергии, спонтанно излучаемой средой за 1 с в 1 см3 в телесном угле d?l и в интервале частот duo. Если учесть индуцированное излучение, то полная энергия, излучаемая за 1 с в 1 см3 в интервале dftduo, будет равна F.3.4) \ + 47^") • F.4.5а) При прохождении излучения через вещество его поток, кроме того, ослабляется. Это ослабление может быть обусловлено либо поглощением, либо рассеянием. В силу линейности уравнений электродинамики (нелинейных эффектов мы касаться не будем, поскольку они несущественны в подавляющей массе случаев), можно считать, что ослабление потока при прохождении слоя dS = dx?l пропорционально потоку, т. е. имеем сИш = -XuIudS - du duj. F.4.56) Коэффициент ослабления к^ складывается из собственно коэффициента поглощения Хш и коэффициента рассеяния хс? . В дальнейшем под коэффициентом ослабления хш будем понимать только коэффициент поглощения, т. е. будем пренебрегать процес- сом рассеяния, поскольку сечение рассеяния на электронах (а именно этот процесс является главным в рассеянии) оказывается чрезвычайно малым (а « 6 • 10~25см2). Теперь мы можем написать так называемое "уравнение переноса излучения". Это нагляднее всего можно сделать, рассматривая излучение как поток фотонов и приме- няя эту же схему рассуждений, которая была использована в разделах 4.1 и 5.1 при выводе кинетических уравнений для частиц. Исходя из F.4.1), в соответствии со сказанным можно написать закон сохранения частиц в фазовом пространстве (х, к) Здесь 5N — разность между числом рождения и числом гибели фотонов в еди- ницу времени и в единице объёма фазового пространства. Учитывая, что х = сГ2, а изменениями длины волны и направлением ее распространения мы пренебрегаем (к = 0), приводим F.3.6) к виду °^ = Шш. F.4.7) 6.4. Уравнение переноса излучения (кинетика фотонов) 297 Возвращаясь к интенсивности потока 1Ш = cFu и учитывая выражения F.4.5а) и F.4.56), окончательно получаем 1д1ш с ~Ж V " = 4тг3с2г . F.4.? Это уравнение аналогично кинетическому уравнению E.1.1) при отсутствии внешних сил. Формально уравнение F.4.8) при известных qu и яи есть простое линейное уравнение в частных производных первого порядка. В подавляющей массе случаев приходиться иметь дело с еще более простыми стационарными вариантами уравнения F.4.8) 4тгг = a + /?/„. F.4.9) 4тгг Это связано с большой скоростью света, благодаря чему времена установления лучистого потока, особенно в лабораторных условиях, весьма малы. Иными словами, зависимость 1Ш от t параметрическая и определяется зависимостью от времени характеристик плазменного потока q^ и кш, т. е./а(х, t) или в гидродинамическом приближении величинами Рис. 6.4.2. Перенос излучения — в общем случае (а), в плоском бесконечном слое (б) Предполагая ^(х), х(х) известными функциями х, найдем в явной форме реше- ние уравнения F.4.9). Обозначим через G поверхность, ограничивающую излучающий плазменный объ- ём (рис. 6.4.2а) и рассмотрим световой поток, проходящий в направлении Q через некую точку на границе объёма Ро(хо)- Этот поток идет вдоль прямой, пересекающей поверхность G в точке Pi(xi). Очевидно, если на G извне не падает поток излучения, то приходящий в точку на прямой P(xq) поток будет рождён (и в общем случае частично поглощён) на прямой о(х)~ (х)- Точки на этой прямой имеют координаты 5 = х0 + ?ls, где s — расстояние, отсчитываемое от точки Pq(xo)- То-есть считаем при Pq величину sq = 0, а при Р\ она равна s\. 298 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением Теперь уравнения переноса F.4.9) можно записать в виде обыкновенного диффе- ренциального уравнения О —/w(xo + tos) = ^(х0 + fts)(l + А1Ш) - кш(х<о + ns)Iw = = а(х0 + Sis) - /3(х0 + ns)/w(xo + П°в). Его решение с граничным условием Iu(so) = 0 имеет вид {S \ /S fs' \ \ - \Cds \ I faexpi \Cds" \ds'\. F.4.10) о J Vo lo J / Пример: пусть а и (З постоянны, тогда поток, выходящий из плазменного объёма, равен 1Ш = exp{[3s*}a exp{Cs}ds = — (l -exp{Cs}). F.4.11a) о Полагая s = I — длина отрезка Р\Ро, получаем ) F.4.116) Отсюда следует что если объём прозрачен, то-есть C1 <С 1, то находим 1Ш = al. И, следовательно, имеет место обычное объёмное высвечивание Если же размер плазменного объёма велик, так что C1 ^> 1, и система близка к равновесию, то (см. ниже F.4.13) и F.4.14)) 1ш = ^=1{?л), F.4.11b) а 1и — планковская интенсивность. Следовательно, по данному направлению плазма излучает как абсолютно черное тело.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Формулировка уравнения переноса» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
