Схема решения кинетического уравнения при частых столкновениях
В п. 4.1.3 рассматривалась связь бесстолкновительной кинетики с гидродинамикой. Там отмечалось, что в общем случае одно кинетическое уравнение эквивалентно бесконечной цепочке уравнений гидродинамического типа. В случае кинетики со столкновениями, при малой длине свободного пробега, ситуация совсем другая. Одно уравнение кинетики в данном случае эквивалентно трём уравнениям гидродинамики: для плотности п, скорости v и температуры Т. Если длина свободного пробега частиц существенно меньше характерных мас- штабов неоднородности потока L столкновительный член в кинетическом уравнении становится преобладающим. Символически это можно записать в виде f = b[fj}. E.3.1) Здесь введено обозначение и явно выделен малый параметр Л, под которым можно понимать длину свободного пробега, отнесённую к размерам системы. Если Л стремится к нулю, то, при отсутствии особенностей, уравнение E.3.1) принимает вид [(°) «>)] E.3.2) Это уравнение имеет единственное несингулярное 0 решение, соответствующее со- стоянию компоненты, находящейся в термодинамическом равновесии. Этим решени- ем является максвелловская функция: ^} <5ЛЛ> 1) Сингулярные решения уравнения E.3.2) описывают конфигурации с точечными источ- никами 5.3. Уравнения переноса в двухжидкостной гидродинамике 241 В общем случае n, T, v являются функциями координат и времени. Ниже, чтобы избежать путаницы, мы всюду скорость, входящую как аргумент в функцию распределения /(vx), будем отмечать штрихом. Если учесть теперь конечность длины свободного пробега, то решение уравнения E.3.1) можно искать в виде / = /@) +Л/A) + ... E.3.4) Подставляя это разложение в E.3.1) и учитывая E.3.2), получаем систему уравнений последовательных приближений: 5 Dt ' Как видно, на каждой ступени расчёта приходится решать линейное относитель- но неизвестной функции интегральное уравнение. Техника решения полученных уравнений для случая больцмановского столкновительного члена была разработана Энскогом, Чепменом и Каулингом, а для столкновительного члена Ландау её развили С. И. Брагинский, Л. Спитцер и др. Оказалось, что построение указанных решений приводит к определённым уравнениям для функций: n(r,?); T(r,?); v(r,t), введённым с помощью выражений E.3.3). Это и есть уравнения гидродинамического приближе- ния.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Схема решения кинетического уравнения при частых столкновениях» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
