Соотношение кинетического и гидродинамического описаний
Внешне уравнение кинетики D.1.9) радикально отличается от системы уравнений гидродинамики. Поэтому важно осознать их связь. Начнём с простого примера. В ряде систем, например в ионных источниках, разброс скоростей частиц мал, и поэтому функцию распределения / можно считать пропорциональной (^-функции 0: /(х, Vх, t) = n(x, tM(v' - v(x, ?)). D.1.16) В данном случае поток характеризуется четырьмя параметрами: n,vx,vy,vz, которые являются функциями только четырёх (а не семи!) независимых переменных t,x,y,z. Чтобы найти уравнения для этих функций, умножим D.1.9) на l,vx,vy,VQ и про- интегрируем полученные выражения по скорости, учитывая D.1.16). В результате придем к уравнениям гидродинамического типа, полагая F = / тр _|_ 1 г тт1 \ дп . ——Ь divnv = 0; dl _ е ( 1 \ DЛЛ7> dt М \ с ) ' Отсюда видно, что при условии D.1.16) кинетическое уравнение D.1.9) эквивалентно системе D.1.3). Рассмотрим теперь случай произвольной функции распределения /(t,x, v/) и учтём связь / с гидродинамическими параметрами D.1.3) Г / /ч / n(t,x) = /(?,х, v )dv , J D.1.18) nv = vf f(t,x,vf)dvf. Кинетическое уравнение возьмём без привязки к сорту частиц и без конкретиза- ции действующей на частицы силы, считая её функцией t и х 2) -7W + v't— H -J-—т— = 0. D.1.19) dt <9x M dwr 1) В отличие от D.1.3), здесь скорость, входящая в /, отмечена штрихом, а гидродинами- ческая — без штриха. 2) Скорость в F реально входит только в виде силы Лоренца, а её учёт не изменит качественно наших выводов. 202 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме Если проинтегрировать это уравнение по v/, то получим: Или, учитывая D.1.18) и обращение / в нуль при v —> ±00, имеем дЛ + d±Vxn + д + ^Vzn = о, D.1.206) dt дх ду dz т. е. получаем обычное гидродинамическое уравнение непрерывности с)п —+divnv = 0. D.1.20в) Теперь умножим уравнение на v'x и проинтегрируем по dv': Или о , о _ nFX0 Уравнения D.1.20) и D.1.21) — это уравнения гидродинамического типа, т.к. входящие в них величины n, v, Pap есть функции пространственных координат и времени (х, t). Но выписанные уравнения обладают одной "негидродинамической" особенностью: они не образуют замкнутую систему. Действительно, изменения п во времени определяется потоком частиц nv. В свою очередь поток частиц определяется 1-м моментом кинетического уравнения, т.е. D.1.21). Но в последнем уравнении появляется тензор потока импульса Рар- Чтобы получить уравнения для определения Рар, надо вычислить вторые моменты кинетического уравнения, умножая его перед интегрированием на v'av'p. Но тогда у нас появятся дивергенция тензора 3-го порядка Qap-y = и т. д. Отсюда видно, что конвективный член (vdf/dx.) при вычислении n-го момента уравнения порождает (п+ 1) момент /, и цепочка моментных уравнений оказывается бесконечной. Таким образом, в общем случае одно кинетическое уравнение оказыва- ется эквивалентно бесконечной цепочке уравнений гидродинамического типа. Однако при тех или иных допущениях эту цепочку можно оборвать, и тогда получается "обычная" или "почти обычная" гидродинамика. Об это конкретно будет говориться в п. 5.3.4. А сейчас вернемся к уравнению D.1.216) и придадим ему более привычный вид. Для этого полную скорость частиц v, представим как сумму усредненной ("гидродинамической") скорости v и хаотической составляющей w: Vх = v + w, v = v(x, t). Хаотическая составляющая определяется условием [w/dv' = 0. D.1.22а) 4.2. Уравнения Власова-Максвелла 203 Тогда )a(v + w)dw =uaiipn + pap. D.1.226) Подставляя эти выражения в D.1.216), получаем М —nva + а р ) =-^+nFa. D.1.23а) \ot охр J охр Если учесть уравнения непрерывности дп дпир dt дхр то, дифференцируя левую часть, получим: = 0, Отсюда следует, что в том случае, когда тензор давлений Р ар — диагональный и изотропный ^ РаР=р5ар, D.1.23В) мы получаем стандартное по форме уравнение Эйлера: vP+f; ^ Однако вся бесконечная цепочка, о которой говорилось выше не исчезла, несмотря на допущение D.1.23в). Она скрыта в величине р, которая пока никак не определена.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Соотношение кинетического и гидродинамического описаний» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
