Итак, предположим, что течение стационар- но, и его можно описать следующей системой уравнений: divneve=0; divn^v^ = 0; C.6.1) M(v,V)v, = -^ + е (е + - [vif H] M(veV)ve = -^ - е (Е + - [ve, H] пР \ с Pi =Pi(ni,Si); (viV)si = 0; Ре = Ре(пе, Se)\ (veV),Se = 0; 4тгв rotH= {jiiWi — neve); divH = 0; C.6.5) с C.6 C.6 C. C. ..2a) .26) 6.3) 6.4) 3.6. Бездиссипативные аксиально-симметричные течения 169 = -УФ; спуЕ = 4тге(п;-пе). C.6.6) Считая, что электромагнитные поля и течение обладают осевой симметрией, напи- шем уравнения непрерывности C.6.1) и второе из уравнений C.6.5) в координатной форме: —rnvr + —rnvz = U; % % C.6.7а) -T^rHvr + -7^rHvz = 0. 9 9 Этим уравнениям можно удовлетворить тождественно, если ввести три функции потока ф{, фе, фн'- (rnvr)i,e = ^—; Гйг " dz ' rHz - дг ¦ Нетрудно видеть, что линии ф^г, z) = const; фе(г, z) — const изображают соответственно проекции траекторий ионов и электронов на плоскость г, z. Величина ф(г, z) связана с числом частиц N, проходящих в единицу времени внутри аксиально-симметричной поверхности ф(г, z) = const, следующим соотноше- нием: N = 2тгф. C.6.7в) Аналогичными свойствами, как об этом уже говорилось в разделе 1.1 обладает и функция магнитного потока фн- Учитывая векторное тождество Vv2 (vV)v = — [v rot v], уравнения движения C.6.2) можно записать в виде Wt = ^[vbH*]; We = -^[v€,H:]. C.6.8) Здесь введены обозначения "эффективных магнитных полей": Л/Тf ТПС Н*=Н+ rotvi; H*=H rotve, C.6.9) е е полных энергий частиц: Mv2 Mv2 Ut = -^ + W% + еФ; Ue = —^ + We - еФ C.6.10) и, с учётом C.6.3) и C.6.4), функций, пропорциональных энтальпии: Wie= [^. C.6.11) J ГЫ,е Точнее, вводя C.6.11), считаем, что во всём потоке энтропия единицы массы каждой из компонент одна и та же (изоэнтропичность течения). 170 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы Умножая C.6.8) скалярно на v^ и ve и учитывая C.6.7), получаем О D{r,z) D{r,z) Отсюда следует, что Ui = Ui^i); ие = ие(фе). C.6.126) Это означает, что энергия электронов и ионов сохраняется вдоль их траектории движения, как уже говорилось в п. 3.1.4. Прямой проверкой можно убедиться, что zie = -Q^-' rH*ie = —^Ч C.6.13а) где о^^я + ^г^0; ае = ^я-^гг;<е). C.6.136) Используя выражения C.6.7), C.6.8), C.6.12а) и C.6.13а), получаем законы сохра- нение моментов ai = ai(ipi); ае = ае(фе). C.6.14) В свою очередь, из r-компоненты (или z-компоненты) уравнений C.6.8) и законов сохранения C.6.12а) следуют уравнения для функций ^, фе\ С-Щ = ^ - -L (Щ + ^rot.vA ; C.6.15а) с , veOafe 1 /' Me \ ,QC1^ — U'e = Нв rot#ve ; C.6.156) е г гпе Vе/ тт' dU r da /Qun U = —-; а = -—. C.6.15в) Наконец, используя C.6.7) и уравнения Максвелла C.6.5) и C.6.6), находим 4тте А*^я = г(щуго - nevee); C.6.16) 9 19 б>2 or г or ozz Для большей наглядности выпишем все механические уравнения вместе, исключив при этом из уравнений C.6.5) величины rot#v^e с помощью C.6.7). В результате получим [87]: + Wt + еФ = иг{фг); C.6.17а) + We - еФ = ие(фе)\ C.6.176) vfivi 1) Напомним, что символом D(f,g)/D(x, ) обозначен якобиан: df/дх df/dy dg/дх dg/ду Равенство якобиана нулю означает, что функции / и g связаны соотношением / = f(g). 3.6. Бездиссипативные аксиально-симметричные течения 171 Мс фн Н ГУМ = аг(фг); C.6.17в) ТПС фн гуев = ае(фе); C.6.17г) ' ^ = %<«: C.6..7Д, тщдттщ дг тщ dz тщ dz ) тщ т г е тт -^—о!е = ~и^(фе). C.6.17е) тпе дг тпе дг rne dz rne dz J rne r e е В этих шести уравнениях для шести величин ф^ фе, щ, пе, Vio, ve$ содержатся четыре функции: и^фг), ие(фе), а^фг), ае(фе), которые в принципе могут задаваться произвольно. Здесь видна аналогия с произвольными функциями Р(ф) и 1(ф), о которых говорилось в п. 2.4.3. Трёхпотоковая (фе,Фг,Фн) система уравнений C.6.16), C.6.17) была выведена А. И. Морозовым и Л. С. Соловьёвым.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вывод законов сохранения» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
