Остановимся несколько подробнее на выяснении физической сущности полученной нами выше обменной энергии B3.24), которая, как мы уже упоми- нали, представляет собой среднее значение кулоновской энер- гии взаимодействия двух электронов, когда оба они находятся в смешанных состояниях, т. е. частично в состоянии п\ и ча- стично в состоянии п2. Согласно формулам B3.30) и B3.32) общая энергия системы связана с кулоновской энергией К и обменной А соотношением: B3.57) причем здесь знак плюс соответствует \|)с, а минус — \|?a. Чтобы проанализировать обменную энергию более детально, рассмотрим поведение системы с течением времени при учете обменной энергии. Волновые функции симметричного и анти- симметричного состояний можно записать в виде: -—E°t ~-Eat г|)с (/) - tyce h и фа(/) = г|)ав h . B3.58) Вводя обозначения ^—^-со, -f = 6, B3.59) соотношение B3.58) можно представить в виде j ,2 _iat+M B3.60) § 23. Теория атома гелия без учета спиновых состояний 335 Рассмотрим состояние системы, описываемое суперпозицией решений фс@ и i|)a(/) l: W (t) = СЧС @ + С V (О- B3.61) Нетрудно убедиться в том, что функция W(t) представляет со- бой общее решение уравнения Шредингера B3.7) для первого приближения теории возмущений. Предположим далее, что в начальный момент времени (/==0) один из электронов находится в состоянии П\, а второй—• в состоянии п% Тогда функция ? @) = -~г {(Сс + С*)и+ (Сс - Са) v) B3.62) должна быть равной функции и. Отсюда следует, что г- \V_< Г V-# J 1 , Cl V> V> • \J9 или B3.63) Из последних равенств для функции B3.61) находим: е-ш {Ц cos5^ - j0 sin 60 = е~ш {Саи + Cvv}y B3.64) где Са = cos б/, Со = - I sin б/. B3.65) Очевидно, что амплитуды Си и Cvy удовлетворяющие усло- вию нормировки |CJ2 + |CJ2=1, B3.66) характеризуют соответственно вероятности пребывания системы в состоянии, описываемом либо функцией и, либо функцией v. При / = 0 коэффициент Су = 0, Си=\. Это означает, что си- стема в начальный момент времени находилась в состоянии, описываемом функцией и. Однако, спустя время т = -?, B3.67) коэффициенты Си и Cv согласно B3.65) становятся равными С, = 0 и С* = —i, 1 Такая суперпозиция симметричного и антисимметричного состояния воз- можна лишь без учета спина частиц, когда мы не можем указать физиче- ского различия между ними. С учетом же спина симметричное состояние со- ответствует спину, равному нулю, а антисимметричное — единице (см. § 24), и поэтому подобное смешение будет носить чисто формальный характер, тем более что переход с изменением спина относится к запрещенным. ЧАСТЬ III ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ т. е. состояние системы описывается уже не функцией и, а функцией v. Это говорит о том, что если в момент времени t = 0 один из электронов находился в состоянии пи а другой — в состоянии п2, то по истечении промежутка времени т, наобо- рот, первый электрон окажется в состоянии п2, а второй — в со- стоянии п\. Время т, за которое происходит «обмен» электрон- ными состояниями, называется временем «обмена». Оно связано с обменной энергией А простым соотношением. В частности, отсюда следует, что если обменная энергия отсут- ствует (Л=0), то т=оо. В заключение укажем, что обменная энергия играет замет- ную роль только в том случае, когда волновые функции, а вме- сте с тем и плотности вероятностей различных состояний пе- рекрываются между собой1. Если же перекрытие волновых функций незначительно, то обменная энергия практически исче- зает. Все это напоминает собой перекачку энергии от одного связанного маятника к другому. Известно, что если в началь- ный момент качается только один из связанных маятников, ю через некоторый промежуток времени его амплитуда станет равной нулю, поскольку вся энергия колебаний перейдет ко второму маятнику. При этом время обмена энергией колебаний зависит от соотношения между собственными частотами коле- бания маятников, достигая максимального значения, когда эти частоты совпадают (случай резонанса). Следует подчеркнуть, что приведенная аналогия является чисто внешней и имеет место только в силу проявления волно- вых свойств в обоих явлениях.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Исследование обменной энергии» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
