Решение уравнения Дирака для свободной частицы с учетом положительных и отрицательных энергий
Исследуем прежде всего уравнение Дирака для свободной частицы, которое имеет вид: где гамильтониан определяется выражением: ^ B2.2) Свободное движение можно рассматривать как частный слу- чай движения под действием центральных сил, и поэтому дол- жен соблюдаться закон сохранения полного момента [см. A9.4)] j = [rp] +1 Aa = const. B2.3) На языке квантовой механики это означает, что полный мо- мент количества движения должен коммутировать с гамильто- нианом. Мы можем избавиться от орбитального момента [гр], если возьмем проекцию полного момента на направление импульса, поскольку проекция орбитального момента на направление им- пульса-обращается в нуль: (Р1ГР]) = Р* (УРг ~ zpy) + ру (zpx - хр2) + рг (xpy - урх) = 0. Для дальнейших расчетов нам более удобно ввести опера- тор проекции момента количества движения на направление им- пульса (в единицах 1/2Ь) с -о 5" где импульс р = bk и собственное значение оператора V2 равно — /г2. Этот оператор, очевидно, должен коммутировать с гамильто- нианом B2.2), в чем нетрудно убедиться с помощью непосред- С1венной проверки HS — SH = 0. Частное решение уравнения Дирака мы будем искать в виде р B2,5) где B2.6) § 22. Полное решение уравнения Дирака 309 — четырехрядная матрица, L3 — объем основного параллелепи- педа, а составляющие волнового вектора k(k\k2k^) связаны с це- лыми числами п\, /22, «з = 0, ±1, ±2, ±3,... соотношениями /г1 = -^-я1 иг. д. (см. § 4, решение уравнения Шредингера в случае свободного движения). Энергия Е связана с величинами тос k=Vki + k$ + kfj и ko = ^f соотношением: Е = ctieK> B2.7) причем параметр е остается пока что неопределенным. Учитывая коммутацию оператора S с гамильтонианом B2.2), мы можем волновую функцию подчинить дополнительному усло- вию: № B2.8) где величина s представляет собой собственное значение опера- тора B2.4). Подставляя волновую функцию B2.5) в уравнения B2.8) и B2.1), мы найдем для определения матрицы Ь следующие два уравнения: (ks-(ok))b = 0, B2.9) (сК - spxk - p3k0) b = 0. B2.10) Учитывая значения для матриц oh и р& A8.9) и A8.10), а также равенство B2.6), мы запишем два последних матрич- ных уравнения в виде системы уравнении. (sk — кг) Ь\, л = &12&2,4, {sk + k3)b2,4 = kl2bU39 4 B2Л1) где * Последним уравнениям мы сможем удовлетворить, если по- ложим •Ьг\ /Ах JB, 1 / Л, В9 -' А2 Б, I B2-12> J 2 ?>1 310 ЧАСТЬ II РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИК* Тогда для определения Alt2 и Bi,2 получаем: = skA2 B2.13) B2.13а) Из равенств B2.13) легко найти собственные значения для s=»± 1, B2.14) а из B2.13а) значения для в= ± 1, B2.14а) т. е. параметр е определяет знак энергии. Учитывая далее условие нормировки b+b = b[bi + bib 2 + blbi + b\h± = -j{A\A\ + A^XSiBt + B:S2) = 1, B2.15) найдем: B2.16) В{ +scos9, B2 = в1/з/ф V 1 ~ 5 COS 0 , где 9 и ф являются сферическими углами волнового вектора k(k[2 = k sin 0 el(P, /?3 = /г cos 0). Для анализа полученных решений, не нарушая общности, мы направим импульс по оси г@ ==0, ср = 0, кх = &у = 0, kz = к). Этому импульсу соответствуют четыре решения, отличаю- щиеся друг от друга или знаком энергии (г = ± 1), или спина (s = it 1), которые дают следующие значения для матриц Ь; B2.17) § 22. Полное решение уравнения Дирака 311 Решение с s= 1 описывает случаи, когда спин направлен по импульсу, а 5 = — 1 — против импульса. Знак величины е опре- деляет знак энергии. Нетрудно показать, что эти матрицы удо- влетворяют условию ортонормированности b+(kts\ s')b(k,St в) = 6мЛе'.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Решение уравнения Дирака для свободной частицы с учетом положительных и отрицательных энергий» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
