С уче- том тонкой структуры энергетические уровни атома водорода оказываются зависящими также от внутреннего квантового числа /. Соответствующие термы равны Enlf RZ2 г Z2a2 / n 3^ Из этой формулы видно, что тонкая структура по теории Дирака зависит лишь от главного квантового числа п и внут- реннего квантового числа /. От орбитального же квантового числа / в противоположность бесспиновой теории Клейна — Гордона тонкая структура уровней не зависит. Из приведенной на фиг. 20.1 схемы видно, что все термы являются двукратно расщепленными, так как каждому значению / соответствуют два значения /; например, вместо одного терма 2р(/==1) имеем теперь два терма: 2pi/, и 2рв/,. Исключение представляют 5-термы (/=0), для которых / может принимать лишь одно значение (j = 4-J. Таким образом, учет релятивистских и спиновых эф- фектов несколько понижает, но не расщепляет s-термы (фиг. 20.1). Заметим, что благодаря расщеплению энергетических уров- ней кратность вырождения несколько изменяется. В самом деле, главное квантовое число может принимать следующие значе- ния: п=1, 2, 3, 4, .... Орбитальное квантовое число / изме- няется в пределах от / = 0 (s-состояние) до п — I. Внутреннее квантовое число / принимает значения / = / ± у(/ Ф 0) и / = у (/ = 0), и, наконец, для квантового числа т7- имеем: mj = —/, ..., +/, т. е. при заданном / оно принимает 2/-И полуцелых значений. Таким образом, кратность вырождения, ха- рактерная для любого центрального поля, связанная с равно- правностью различных направлений, для частиц спина 1/2 рав- няется 2/-Hi (напомним, что для бесспиновых частиц она рав- нялась 2/-Н). Кроме того, в случае кулоновского поля остается еще специфическое вырождение по / (так как энергия от I не зависит). Поскольку при заданном / квантовое число / / • 1 может принимать два значения l = j±-^, то полная кратность вырождения в кулоновском поле равна 2B/4-1). Исключением является состояние с максимальным значением / = м —~ по- скольку / в этом случае может принимать лишь одно значение 286 ЧАСТЬ II РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Е/п-и / = / — — (напомним, что состояние / = п запрещено). Для него кратность 3ds/2 вырождения будет равна 2/4-1. За- метим, что любое нарушение куло- новского поля точечного заряда (учет конечности размеров ядра, учет вакуумных поправок) пол- / ностью снимает вырождение по /. 2s,/2,2Pt/2 При определении величины рас- щепления спектральных линий необ- f ходимо учесть правила отбора s*/2 B0.4). Тогда вместо одной линии ^ л, , ^ серии Лаймана имеем две: Фиг. 20.1. Схема энергетиче- г ских уровней атома водорода. 4(D_ (линия слабой интенсивности, так как Ду = 0), . B0.19) Для линий серии Бальмера находим следующие расщепления; B0.20) причем линия Bpv2)— (nd*,,) должна отсутствовать, так как в этом случае Д/= 2 (запрещенный переход). Заметим, что если вырождение по / не снято, то линии ы^ и (о<3) (а также шB) и соD)) совпадают друг с другом, поскольку начальный и конечный уровни имеют одно и то же значение для главного п и внутреннего / квантовых чисел. Аналогичным способом можно определить закон расщепления для других линий. При этом низшим энергетическим уровнем, претерпе- вающим расщепление, является уровень п = 2. В случае атома водорода (Z=\) расщепление этого уровня наиболее тщательно изучалось экспериментально. Вообще говоря, уровень дг = 2 дол- жен расщепляться на три, причем согласно изложенной здесь 20. Тонкая структура спектра водородоподобного атома 287 теории два из этих уровней оказываются слившимися: B0.21) Для частоты переходов между этими уровнями, согласно теории Дирака, находим: ^( B0.22) что составляет 1,095» 104 Мгц Ч В то же время с учетом лишь релятивистских эффектов (уравнение Клейна — Гордона) соответствующее расщепление равно [см. A7.32)]: Да>к-гвB5)-Bр)в|^, B0.23) т. е. почти в три раза больше расщепления, найденного по тео- рии Дирака. Таким образом, учет спиновых свойств частиц несколько уменьшает влияние релятивистских эффектов. Эксперимент с большой точностью подтвердил правильность выводов теории Дирака. В связи с этим интересно отметить, что тонкая структура спектра атома водорода теоретически впервые была рассчитана Зоммерфельдом по полуклассической теории Бора, причем в основу теории было положено релятивистское выражение для гамильтониана. Зоммерфельд получил для бесспиновой реляти- вистской теории выражение B0.22): ДсозоМм в Bs) - Bр) = ~. B0.24) Однако такое совпадение результатов Зоммерфельда и Дирака оказалось до некоторой степени случайным, поскольку в теории Зоммерфельда не были учтены спиновые эффекты, и поэтому он не мог получить для /7 = 2 трех уровней, наличие которых затем было подтверждено экспериментально.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Исследование тонкой структуры по теории Дирака» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
