Нерелятивистское волновое уравнение, учитывающее собственный магнитный момент электрона, впервые было предложено Паули. С этой целью обычный гамильтониан уравнения Шредингера был дополнен членом, который учитывал еще взаимодействие собственного магнитного момента электрона \i с внешним магнитным полем Н: A6.19) Тогда стационарное уравнение Шредингера принимает видз {Е— Нш+ (|*Я)}ф=0, A6.20) где гамильтониан уравнения Шредингера Далее необходимо было найти соответствующие величины для описания собственного магнитного момента электрона. Как известно, введение спина связано с введением четвертого кван- тового числа, которое должно характеризовать внутренние свой- ства электрона. Волновая функция г|э частицы может зависеть только от трех квантовых чисел, соответствующих квантованию трех простран- ственных координат. Для описания спина и введения четвертого квантового числа Паули вводит вместо одной волновой функции г?> две волновые функции *?] и 4*2. В этом случае одна волновая функция будет описывать состояние с одним направлением спина, а другая — с противоположным; само же волновое уравнение должно пред- ставлять собой систему двух уравнений. Как известно, система двух уравнений, например #21*1 <" #22 * 2 — ^» может быть представлена одним уравнением в матричной за- писи; § 16. Атом в магнитном поле 243 если учитывать при этом закон умножения матриц (с) = (а){Ь): элементы матрицы-произведения равны сумме произведений эле- ментов строк первой матрицы на соответствующие элементы столбцов второй матрицы, т. е. cik = 2 Uirfink- A6.24) п Паули предложил выбрать волновую функцию W в виде мат- рицы с одним столбцом 4f = ( 1 ), а собственный магнитный момент электрона положить равным fi—-\io*\ A6.25) где \io — магнетон Бора, а' — три двухрядных матрицы Паули 'О 1\ /О -Л /1 0\ 1 о]> °Hl 0 ]• аз = @ -lj- <16'26> которые будем обозначать буквой o's со штрихом (той же бук- вой без штриха описываются четырехрядные матрицы Дирака), Матрицы A6.26) характеризуют проекции вектора спина на оси координат. Используя правила умножения матриц A6.24), легко пока- зать, что матрицы Паули обладают следующими свойствами. Квадрат каждой матрицы равен единице; а12===0Г22==0Гз2г==/'» A6.27) /1 0\ где через V обозначена двухрядная единичная матрица L 1. Различные матрицы антикоммутируют друг с другом, причем ^з^-^^К A6.28) /• f /' / • / Учитывая значения матриц, нерелятивистское уравнение Паули можно представить в виде: 0\ Г/0 П /0 -/ О С -lK]}(^b°- A6'29> 16* 244 ЧАСТЬ Г НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Это матричное уравнение эквивалентно систехме двух обычных уравнений: (Е - Нш - 110Н2) Vx - щ, (Нх - Шу) Ч2 - 0, (Е - Нш + ^0Я2) ^2 - цо (Я, + /Я,) Т, = 0. В частности, рассмотрим случай движения электрона в магнит- йом поле, направленном по оси z(Hx — Hy = 0, Нг~Ж). Учитывая при этом гамильтониан уравнения Шредингера при наличии магнитного поля A6.8), находим для описания движения элек- трона два уравнения: A6.31) где энергии щЖт и ±\х0Ж характеризуют соответственно взаи- модействие орбитального и спинового моментов с магнитным полем 36. В частности, для s-состояний магнитное квантовое число га равно нулю, и поэтому уравнение Паули принимает вид: A6.32) т. е. волновая функция ф^ описывает состояние, когда собствен- ный механический момент электрона (т. е. спин) направлен по оси 2, а волновая функция W2 — против оси г. Эти две возмож- ные ориентации собственного магнитного момента, направлен- ного антипараллельно механическому, и наблюдались в опытах Штерна и Герлаха. В качестве функции W+ Паули предложил выбрать так на- зываемую эрмитово-сопряженную волновую функцию, т. е. мат- рицу х?+ = (^Fi^F*)), элементы которой не только комплексно сопряжены, но и транспонированы, т. е. строки заменены столб- цами. Иначе говоря, если W есть матрица-столбец, то W+ будет матрицей-строкой с комплексно-сопряженными элементами. То- гда для плотности вероятности будем иметь выражение: ^i + 4f*XV2, A6.33) в котором учтена возможность двух направлений спина. § 16. Атом в магнитном поле 245 Диалогичным образом должны образовываться и другие мат- ричные элементы. Например, A6.34) т. е. Ч^Ч^ и ЧуРг характеризуют плотности вероятности со- стояний, в которых электрон имеет ориентацию спина соответ- ственно по и против оси г. Зная выражение для собственного магнитного момента в теории Паули а также соотношение между собственным магнитным и меха- ническим моментами, которое следует из экспериментов Эйн- штейна — де-Гааза находим, что A6.35) т. е. в согласии с другими опытными фактами проекция меха- нического момента на ось z равна ±7г- Поскольку оператор спина выражается через матрицы Пау- ли, его составляющие не должны коммутировать между собой, и для них с помощью равенств A6.28) и A6.35) можно найти перестановочные соотношения: $>xSy — S^S^ = tbSZf SySz-$2Sy = ihSx, A6.36) Следует указать, что аналогичные перестановочные соотношения были установлены для составляющих орбитального момента [см. A1.75) и A1.76)], которые были операторами, составлен- ными из производных. Заметим также, что в теории Паули абсолютное значение собственного механического и магнитного моментов вводится по существу эмпирически.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Паули» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
