Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Квантова механіка і атомна фізика

Основы теории дисперсии

Теория возмущений нашла
применение при изучении взаимодействия света с веществом. Де-
ло в том, что результаты, полученные по квантовой теории, отли-
чаются от классических, а экспериментальная проверка дает
подтверждение выводов квантовой теории.
Рассмотрим теорию дисперсии (т. е. теорию рассеяния света
в среде) для диэлектрических сред, характеризуемых согласно
классическим представлениям показателем преломления
п =• У г,
где е — диэлектрическая проницаемость (магнитная проницае-
мость \i при этом положена равной единице: jli = 1). Как извест-
но, если с увеличением частоты света, проходящего через веще-
ство, показатель преломления п возрастает \~т1~>®)> то такая
дисперсия называетстя нормальной. Типичным примером нор-
мальной дисперсии является спектральное разложение видимого
света стеклянными или кварцевыми призмами, когда фиолетовые
лучи отклоняются от первоначального направления сильнее, чем
красные.
Аномальная же дисперсия \~т~<^^\ наблюдается в области
частот, которые поглощаются средой.
Для определения показателя преломления п воспользуемся
связью между вектором электрической напряженности Е элек-
тромагнитного поля, вектором индукции D и вектором поляри-
зации Р:
О = гЕ = Е + 4пР. A5.32)
Отсюда, учитывая, что е == м2, находим:
Р = ^-Е. A5.32а)
Таким образом, для определения п нам необходимо, исходя
из микроскопических представлений о строении вещества, уста-
новить связь между Р и Е К
Перейдем теперь к построению квантовой теории диспер-
сии. При этом предположим, что все электроны атомов
1 Согласно определению поляризация Р складывается из электрических
моментов атомов в единице объема.
222 ЧАСТЬ Г, НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
находятся в одном и том же квантовом состоянии-k. Для реше-
ния нашей задачи используем метод теории возмущений, по-
скольку энергия взаимодействия с внешним полем, как правило,
мала по сравнению с энергией связи электронов в атоме.
Замечая, что внешняя сила, действующая на электрон, в нере-
лятивистском случае (т. е. при отбрасывании «магнитной» силы)
равна
Fx = — eo<^ocos со/, Fy = Fz = О,
для энергии возмущения получаем выражение 1
у = вох?ъ cos ®t. A5.33)
В связи с этим уравнение Шредингера для электрона запи-
шется в форме
Hf-H°-yjfe@ = 0, A5.34)
где Н° — гамильтониан в отсутствии возмущения.
Допустим, что при V = б уравнение A5.34) имеет точное
решение
<W = ^-('M)Sft' = ^-'X A5.35)
где \р°к и Ek удовлетворяют уравнению
= 0. A5.36)
Тогда в соответствии с теорией возмущений решение ищем
в виде
ф*(о=*2(')+ф;(о. A5.37)
Учитывая далее равенство
~-§r-H°)rL(t) = 0, A5.37а)
для определения г|>? (t) (первое приближение) получаем уравнение:
Подставляя сюда V из A5.33), находим:
Чтобы в этом уравнении исключить время t, ищем решение,^ {t)
в форме:
< (t) = ие~и (**"*) + ve-lt (C0-+0)). A5.39)
1 Это соответствует условию, что на расстояниях порядка размеров атома
электрическое поле можно считать неизменяющимся,
§ 15. Стационарная теория возмущений и ее простейшие приложения 223
Тогда для определения функций и и v получаем уравнения:
{й {щ - со) - Н°}и = |ecx?offe, A5.40)
{h (со, + со) - Н0} v = у ejc&^l- A5.41)
Заметим, что два последних уравнения имеют совершенно
одинаковую структуру. Поэтому нам достаточно найти лишь
функцию и. Тогда для вычисления функции v необходимо заме-
нить со на —со.
Поскольку в уравнение A5.40) время явно не входит, при
определении функции и мы можем воспользоваться методом тео-
рии возмущений для стационарных задач, когда решение сле-
дует искать в виде разложения по собственным функциям невоз-
мущенной задачи [см. A5.8)]
и= 2 Ck.q* A5.42)
где яD„ удовлетворяет уравнению
= 0. A5.43)
Из последних равенств находим
Ь V Ckn шккп — со) щ. = —г— фь- A5.43а)
к"
Здесь частота излучения
ашг= k~h k" . A5.44)
Умножая A5.43а) слева на -ф^ и интегрируя затем по всему
пространству с учетом ортонормированности собственных функ^
ций для коэффициентов С^, получаем выражение:
Подставляя A5.45) в A5.42), находим искомую функцию
к'
где матричный элемент хк,к равен:
A5.47)
224 ЧАСТЬ 1. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Заменяя в A5.46) со на — со, получаем:
Общая же волновая функция ^(t) согласно A5.37) и A5.39)
запишется в виде
ee-'v(^_f^V-f^ A5.19)
Определив волновую функцию tyk(t) электрона во внешнем
поле, мы легко сможем найти вектор поляризации среды 5*. В са-
мом деле, по классической теории
где N — число атомов в единице объема.
Чтобы это выражение обобщить на квантовый случай, вмес-
то р следует взять его среднее значение. Тогда
J ф; (t) x% (t) (Px. A5.50)
Подставляя сюда tyh(t) из A5.49) и оставляя только члены пер-
вого порядка малости относительно $^ находим:
A5.51)
При выводе этого соотношения мы учли, что
поскольку подынтегральная функция является нечетной функ-
цией х. Сравнивая A5.51) с A5.32а), получаем дисперсионную
формулу
п2 - 1 2Nel vi со,,, I xk,u I2
Вводя новую переменную
*'Л ~ ~ТГ *'k I xft'ftl » A5.53)
получившую название силы осциллятора, преобразуем равенство
A5.52) к виду
М"~ " !k'h 2. A5.54)
4л Щ f
Заметим, что если бы с самого начала была учтена кванто-
вым путем сила радиационного трения, то для частот со, близких
§ 15. Стационарная теория возмущений и ее простейшие приложения 225
Фиг. 15.1. Кривые дисперсии.
а—положительная дисперсия Ш^ =
б — отрицательная дисперсия (со^ =
мы имели бы (аналогично классическому случаю) в обла-
сти аномальной дисперсии конечное значение для /г2
(фиг. 15.1 а — штриховая линия).
Формула A5.54) напоминает по своей структуре классиче-
ское выражение. Однако по сути дела квантовые результаты
принципиально отличаются от классических. В самом деле, со-
гласно квантовой теории аномальная дисперсия лежит в об-
ласти частот, соответствующих разрешенным переходам, а не
в области собственной механической частоты колебаний элек-
трона, как это вытекает из классической теории. Такой вывод
следует из того, что в дисперсионной формуле A5.54) суще-
ственную роль играет сила осциллятора fk,k, определяемая мат-
ричным элементом xk,k [см. A5.53)], характеризующим правила
отбора, т. е. разрешенные переходы.
Д. С. Рождественский, используя так называемый метод
крюков, экспериментально подтвердил эти выводы квантовой
теории.
Вторым очень важным отличием квантовых результатов от
классических является то, что согласно квантовой теории наряду
с обычной положительной дисперсией может также существо-
вать еще и отрицательная дисперсия (фиг. 15.1 б), не имеющая
классического аналога.
Действительно, если рассеяние света происходит на воз-
бужденных атомах, то следует учитывать состояния с Ек>
>?V, для которых
Для этих состояний дисперсионная формула A5.54) принимает
вид:
I fvk I
/z2-!
Щ
A5.55)
15 Зак. 32Ь
226
ЧАСТЬ 1. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Ьоо'
hto1
Ш
hco
Фиг. 15.2. Энергетическая схема
рассеяния фотонов:
/ю-энергия падающего фотона; &©'—
энергия рассеянного фотона; /, /7—упру-
гое рассеяние фотона (йоо ф й<о&'& и
йю^ &<*>&&"); ///, IV — вынужденные пе-
реходы (й© — #©&'& или й<*>&?")'
л
а кривая дисперсии изображается пунктирной линией на
фиг. 15.1 б.
Экспериментально явление отрицательной дисперсии было
обнаружено Ладенбургом. Таким образом, и этот вывод кванто-
вой теории также получил свое подтверждение.
Найдем значение силы осциллятора fk,k, а следовательно, и
дисперсионную формулу в случае гармонического осциллятора.
Замечая, что при этом отличными от нуля будут только матрич-
ные элементы [см. A0.67)]
,-V-
2т0щ
и
hk
A5.56)
которым соответствуют квантовые частоты излучения, «случай-
но» совпадающие с соответствующими механическими часто-
тами колебаний
Щ+ик^по и ©*_!,* = —©о, A5.57)
находим
A5.58)
A5.59)
Поэтому дисперсионная формула A5.54) запишется в виде
\lel к Н-1 Nel k Nel 1
п2-!
Ал
- со2
m0 (D0~(
A5.60)
Отсюда следует, что в этой частной задаче квантовая и клас-
сическая теории дают для показателя преломления п одно и то
же значение. Явление отрицательной дисперсии здесь не наблю-
дается. Это связано с тем обстоятельством, что для гармониче-
ских осцилляторов область отрицательной дисперсии, благодаря
тому что |o)fe+i, h\2 = Ico/t_i, k|2, совпадает с соответствующей об-
ластью положительной дисперсии, которая ее и перекрывает^
§ 15. Стационарная теория возмущений и ее простейшие приложения 227
Фиг. 15.3. Комбинационное рассеяние
света:
й©—энергия падающего фотона; fo(d' и #©"—энер-
гии рассеянных фотонов, отвечающие «стоксо-
вым» и «антистоксовым» линиям.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Основы теории дисперсии» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»