Другим простейшим примером движе- ния под действием центральных сит является случай свобод- ного движения, когда потенциальную энергию можно вообще положить равной нулю (У=0). Тогда решение можно искать в виде плоской волны (см. § 4), либо в виде сферической волны* поскольку случай VT=0 можно отнести также и к сферически симметричному. При решении задачи в сферических координа- тах для определения радиальной функции имеем уравнение [см. A1.21I: ¦^¦ + (*-"-^)« = 0, A2.39) где Вводя новую функцию yw-= y7 eRt== ~т= , преобразуемA2.39) \ г к виду A2.40) Последнее уравнение представляет собой уравнение Бесселя полуцелого порядка ±(/+-9) от вещественного аргумента. Учитывая, что волновая функция должна оставаться конечной в точке г-*0, в решении мы должны оставить только функцию Бесселя положительного порядка, когда2 ^ A2.41) 1 Мы можем подобрать решение, являющееся собственными функциями операторов Н и Lx. Например, полагая 1= I и Lxi|) — 0, имеем: sln*C0S(P-7f М-^Г1)- A2.38) Хотя это решение удовлетворяет уравнению Шредингера, но при действия оператора Lz оно не будет иметь собственного значения, поскольку решение A2.38) представляет собой лишенную комбинацию решений, имеющих раз- личные значения квантовых чисел т. 2 Решение A2.41) при г->0 имеет вид: R,->rl. Функция Бесселя отри- цательного порядка -¦"(* + о") даег в нУле Расходящийся результат #'~г~~* и noaioiviy должна быть отброшена. ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВЧНТОВАЯ МЕХАНИКА Отсюда следует, что общее решение волнового уравнения ,мя свободной частицы в сферических координатах с заданной энергией может быть представлено в виде [см. A1.19)] оо I ¦ («. Ф, г)=У У^ C?Y?{^y)-±=J Akr\ A2.42) Коэффициенты СТ могут быть найдены из дополнительных условий, а функция Y™ является шаровой функцией [см. A1.67)]. С помощью последней формулы мы сможем произвести раз- ложение плоской волны \р— elhz, которая также удовлетворяв уравнению Шредингера для свободного движения 0 A2.43) A2 44) по сферическим волнам. Представляя плоскую волну в виде где y^kr, x = cos'0i, мы должны для шаровой функции положить ш = 0 (поскольку егЬг не зависит от угла ф) и искать решение в виде разложения только по полиномам Лежандра сю etyx = 2 В, (у) Pt (x). A2.45) Учитывая условий ортонормированности для полиномов Ле- жандра J 1 (x) Pi' (х) = -щп ви-, A2.46) J -1 которое легко получить из равенств A1.67) и A168), полагая в последних ш = 0, находим: 1 BЛ1) \e^Pt{x)dx. A2.47) Подставляя сюда для полиномов Лежандра выражение A1.59) и ьеребрасывая / раз производную с функции (х2— II на функ- цию е1У*% имее?л: ВАу) A2.48) § 12. Ротатор 173 Далее, воспользовавшись известным из теории бесселевых функций равенством * 1 f A-х*Iе'*УAх= У^1\Щ1+ЧЧ (у), A2.49) -1 находим значение для коэффициента Отсюда искомое разложение плоской волны по сферическим волнам принимает вид оо У Ji^Lp,@08*). A2.50) Как известно, при г~>оо мы можем воспользоваться асим- птотическим выражением для функции Бесселя /тр sin [kr- -s-я/) ± \ z—L э A2.51) и поэтому асимптотическое поведение плоской волны стано- вится равным gtfer cos ь _ \ ^B/ + 1) Ц.—i-7- pz (cos О). A2.52)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Свободное движение» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
