На примере ротатора рассмотрим еще вопрос о квантовом вырождении. Полученные нами волно- вые функции ротатора, равные шаровым функциям YJ1, согласно A187) и A1.88а) являются собственными для оператора га- мильтона Н = — -z—'-—¦= \г ¦¦» з вместе с тем и для квад- 2,ща2 2 г рата момента L2 = — Ъ2У%, Ф и проекции момента на ось z Учитывая, что эти три оператора коммутируют между со- бой, мы можем написать Ш? (О, Ф) = 2~- YT(bt ф) = EtYfib, ф), A2.31) p, ф). A2.32) 170 ЧАСТЬ Т. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Исходя из общего выражения для волновой функции аИ0=2С/тУ,те~г*-1Г' A2.33) /, т (энергия зависит только от орбитального квантового числа /)t нетрудно показать, что средние значения рассматриваемых операторов не зависят от времени (Н) = J ^ (/) Щ (t) &х = ^Etd mCL m, A2.34) / т (Lz) = J ^{t)Lz^{t)d4 = J] ПтСшСш. A2.35) /, m Это связано с тем обстоятельством, что временной множи- тель исчезает в силу ортогональности волновых функций. Среднее значение любых других операторов, для которых Yf не является собственной функцией, как правило, должно зависеть от времени. Так, например, для среднего значения оператора координаты г, коммутирующего с L2, но не коммути- рующего с Н, мы получим с учетом соотношений A2.17) <*> = а У^ {BCl-i,mCi, me-1^ *-* + ЛС/'+i. mC/. теш'+* г1}. A2.36) /, т где коэффициенты АA, т) и В(/, т) определены формулами A2.17а). / Рассмотрим теперь еще два оператора Lx + iLv и L^ — iLy9 которые, наоборот, коммутируют с гамильтонианом Н, но не коммутируют с оператором L2. На основании A1.88) для сред- него значения этих операторов нетрудно получить выражение = - 2 ь ]/(/-1 ±m)(l + m)Ci m± , Си т, A2.37) которое не зависит от времени, так как среднее значение этих операторов пропорционально сумме квадратичных комбинаций амплитуд Ci, m±\Cim, относящихся хотя и к различным состоя- ниям, но зато эти состояния обладают одним и тем же значе- нием энергии, поскольку системы являются вырожденными. Очевидно, что если бы не было вырождения энергетических уровней, т. е. энергия зависела не только от /, но и от магнит- ного квантового числа т, то в полной аналогии с A2.36) сред- ние значения операторов Lx±iLyy для которых Y™ не является § 12. Ротатор 171 собственной, также были бы функциями времени 1. Таким обра- зом, на основе анализа этого примера можно сделать общий вывод о том, что наличие двух и более операторов, коммутиру- ющих с гамильтонианом Н, но не коммутирующих между со- бой, говорит о наличии вырождения квантовой системы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квантовое вырождение» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
