Статистика
Онлайн всього: 1 Гостей: 1 Користувачів: 0
|
|
Реферати статті публікації |
Пошук по сайту
Пошук по сайту
|
Разделение переменных. Собственные функции
Будем ре- шать уравнение A1.17), основываясь на методе разделения пе- ременных. Представляя искомую волновую функцию в виде произведения радиальной части на угловую у = /?(г)У(ф,ср) A1.19) и умножая исходное уравнение на(-тгтг!, получаем [ RYI' (Ц.20) Так как слева здесь стоит величина, зависящая только от г, а справа — только от углов О и ф, это равенство может иметь ме- сто лишь в том случае, когда и левая и правая части равны по отдельности некоторой постоянной величине X, получившей па- звание постоянной разделения. Таким образом, для радиальной и угловой частей волновой функции будем иметь соответственно уравнения V,2/? + ^ --? ) Я « 0, A1.21) V^qy + A,y-0, A1.22) причем весьма важно то обстоятельство, что последнее уравне- ние для угловой части не содержит переменной г и не зависит от конкретного вида потенциальной энергии V, вследствие че- ю, как мы уже отмечали в начале параграфа, его решение Су- дет справедливым для любых центральных сил. Пила1ая далее ), A1.23) §11. Общая теория движения частно в центрально-сммметричном поле 149 с помощью способа, использованного при отделении радиальной части от угловой, находим для разделенных функций 0 и ф сле- дующие уравнения: УфФ + т2Ф = 0. A1.25) Здесь т2 является постоянной разделения; кроме того, мы ввели обозначения; V* = -?L, A1.27) в которых частные производные заменены полными, поскольку каждая из функций © и Ф зависит только от одной переменной. Таким образом, для определения собственных значений энер- гии Ег и соответствующих им собственных функций г|?г мы полу- чили три уравнения: A121), A1.24), A1.25), причем если по- следнее из них содержит только один параметр т2, то второе и первое — по два. Поскольку при решении одного уравнения можно найти соб- ственные значения только для одного параметра, решение всей задачи мы должны начинать с решения уравнения A1.25), а за- тем, зная т2, переходить к решению уравнения A1.24) и, нако- нец, к решению уравнения A1.21) для радиальной функции. При нахождении нормировочного коэффициента можно вос- пользоваться соотношением: с» я 2я | \b*ib??3#= | R*Rr2dr I 0*0 sin'Odd | Ф*ф^ор, и о и из которого видно, что нормировку можно лроизводить для каждой из функций по отдельности: f R9Rr2dr=*l, A1.28) о л J в*0 sin *</•&=* 1, A1.29) о J ф*ФЛр= 1. A1.30) 150 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Частное решение для азимутальной функции [см. уравнение A1.25)] может быть представлено двояким способом; либо ф = С^гтф, A1.31) либо Ф - A cos (mq> -f q>0). A1.32) Каждое из этих частных решений имеет различную физическую интерпретацию. В самом деле, решение A1.31) соответствует бегущей по окружности волне и отвечает, например, равномер- ному вращению электронов, в то время как решение A1.32) свя- зано со стоячими волнами и соответствует, например, колеба- ниям электрона по некоторой дуге. Чтобы функция Ф описывала вращение электрона вокруг ядра, она должна быть выбрана в виде бегущих волн A1.31). Так как второе решение, пропорцио- нальное е~гтф, может быть получено из первого путем замены т на —т, то, не ограничивая общности, решение следует вообще выбрать в виде: ф = С^™ф, A1.33) причем величина т может пробегать как положительные, так и отрицательные значения. Учитывая, что волновая функция должна удовлетворять тре- бованию однозначности (см. § 4), на функцию Ф(ф) необходимо наложить условие периодичности: Ф(ф)=Ф(Ф + 2я), A1.34) мз которого следует, что Отсюда для величины т, получившей название магнитного квантового числа, имеем: га = 0, ±1, ±2, ±3 A1.35) Из условия нормировки A1.30) находим С = f ¦. Непо- средственным вычислением легко показать, что функции ±е^ A1.36) будут удовлетворять условию ортонормированности о Поскольку собственные значения т известны, а также най- дена волновая функция, зависящая от азимутального угла ф, можно приступить к решению уравнения A1.24), § 11. Общая теория движения частиц в центрально-симметричном поле 151 Вводя новую переменную jc = cosO A137) и обозначая производные по х штрихами, вместо A1.24) полу- чаем уравнение: Нетрудно видеть, что последнее уравнение имеет особые точки при х=±1. В этих точках один из коэффициентов при в обращается в бесконечность. Чтобы исключить указанную рас- ходимость, будем искать решение в в виде e = (l-x2f2u. A1.39) Подставляя A1.39) в A1.38) и сокращая все равенство на A — x2)sl2> получаем A - х2) и" - 2х (s + 1) и' + [я - s2 - s + ^ Z ™* ] и = 0. A1.40) Мы исключим особенность в последнем члене, полагая 5=± \т\. Решения, отвечающие этим двум значениям s, удовлетво- ряют одному и тому же дифференциальному уравнению, по- скольку основное уравнение A1.38) зависит лишь от т2. Следо- вательно, эти решения могут отличаться друг от друга только постоянным множителем в(|т|)=Лв(-|т|). A1.41) Учитывая последнее соотношение, будем решать уравнение A1.40) при s = m>0. A1.42) В силу же соотношения A1.41) оно автоматически распро- страняется также и на отрицательные значения т. При условии A1.42) уравнение A1.40) принимает вид A— х*)и" — 2х(т+ \)и' + (К — т(т+ 1))м=0. A1.43) Поскольку последнее уравнение не имеет особенностей, его ре- шение может быть представлено в виде ряда и=2аЛ**, A1.44) /е=0 в результате подстановки которого в уравнение A1.43) полу* чаем: ?=0 152 ЧАСТЬ ! НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Группируя члены с одинаковыми степенями х, приходим к ра- венству 2 {(ft + 2) (ft + \)ak+2 + [X - {k + m){k + m + 1)] aJx* = 0, fe = 0 из которого следует рекуррентное соотношение (к + 2)(ft + l)ak+2 = - [Я. - (ft + m)(ft + m + 1I ab (i 1.45) связывающее между собой все коэффициенты ряда A1.44). Ввиду того что коэффициенты ak связаны лишь afe+2, т. е. через один, функция и будет либо четной, либо нечетной в зависимости от того, является ли старший член (см. ниже) четным или не- четным. Требуя, чтобы ряд A1.44) был ограничен некоторой макси- мальной степенью k = q, т. е. был бы полиномом порядка q9 мы должны ввести условие = 0, a7 Ф 0, Отсюда на основании A1.45) получаем: X=(q + m) (q + m+l)9 A1.46) где q = 0, 1,2, 3 A1.47) т. е. равно той степени, на которой мы обрываем рял Звстя ор- битальное квантовое число / находим, что оно может принимать, так же как и числа q и тч лишь положительные целые значения, включая нуль, т. е. / = 0, 1, 2, 3, ..., {\\ЛЪ) причем в силу A1.48) 1>т. A1.50) Принимая во внимание, что согласно A1.48) и A1.46) А, = /(/+1), A1.51) уравнение A1.40) можно привести к виду ) — т(т+1)]и = 0, A1.52) 1па A1.53) а{х Мы не будем выражать коэффициенты af, через ап+2 с помощью рекуррентного соотношения A1.45), а представим сразу послед- нее решение в свернутой форме. Для этого введем функцию §11. Общая теория движения частиц в центрально-симметричном поле 153 подчиняющуюся уравнению A — x2)v' + 2xlv = 0, A1.55) которое нетрудно получить, взяв первую производную от v по х. Дифференцируя A1.55) с помощью правила Лейбница [см. (8.34а)] (Z + m-f 1) раз и полагая v<l+m)^-j^(x2-l)l = ub A1.56) для функции и\ получаем уравнение: A - х2) и'[ - 2х {т + 1) и\ + [I (I + 1) - т (т + 1 )]щ = О, A1.57) точно совпадающее с дифференциальным уравнением A1.52) для функции и. Следовательно, функции и и щ должны быть пропорциональными друг другу и = const u\. A1.58) Поскольку нормировочный коэффициент функции 0 пока еще 1 не определен, эту постоянную положим равной ——, исходя из тех соображений, чтобы при т = 0 последнее решение перехо- дило в полином Лежандра Таким образом, будем иметь: 1 dl u~'2h\ dxl+m хл i;" Отсюда с помощью A1.39) находим значение для функции в1: в? = С?РГ(х). A1.60) 1 Второе решение уравнения A1.38) при Х=/(/-Н) будет пропорцио- нально функции Qw= (-l)m(l -x2)m" -r-fa Qi(x), (ll.bla) где функция Леж^ндра второго рода (n.6l6) a W/_i(\) является неким полиномом степени I—1 (причем W_i(x)=0), не- содержащим никаких расходимостей. Поскольку первый член правой части равенства A161а) дает для функции Q™ {х) расходимость в особых точках (jc=±1), то поэтому эхо решение следует в случае уравнения Шредингера вообще отбросшъ. 154 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Здесь pf — присоединенный полином Лежандра, определяемый выражением a Cf — нормировочный коэффициент. Хотя последнее выражение было получено для положитель- ных значений m в силу известного соотношения 1 /W=(-l) (/-m)l P/ (А:)' (П.62) оно автоматически распространяется также и на отрицательные значения т. Из равенств A1.61) и A1.62) можно окончательно установить область изменения квантового числа т: т = 0, ±1, ±2, ... ±1; A1.63) это следует из того факта, что при \т\>1 решение Р/* обра- щается в нуль. Коэффициент СТ в A1.60) может быть найден из условия нормировки -1 1 Для доказательства выражения A1.62) преобразуем его с помощью равенства A1.61) к форме m\ A-\m\ x«-l)f-(/+lm|)l ^Hm| (j^-1)^ A1.64) Поскольку же Pj" и P~m должны быть связаны между собой линейным со- отношением [см. A1.41)], нам достаточно показать, что коэффициенты при старшей степени х в обеих частях равенства A1.63) совпадают друг с дру- гом, т. е. в этом нетрудно убедиться, учитывая, что при k<n. при k > л. § 11. Общая теория движения частиц в центрально-симметричном поле 155 Подставляя сюда решение A1.60) и учитывая A1.62), полу- чаем: Перебрасывая производную со второго множителя на первый (/-fm) раз, т. е. раскрывая последний интеграл /+т раз по ча- стям, имеем: Для шаровой функции УГ(в\ ф), удовлетворяющей уравне- нию A1.22), на основании A1.23), A1.36) и A1.66) имеем: причем условие ортонормированности для шаровых функций принимает вид 156 ЧАСТЬ I НРРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА При интегрировании же по углу Ф в полиномах Лежандра следует положить т' — т. Тогда, не ограничивая общности, можно выбрать /'</. Случай /' = / только что рассмотрели при определении нормировочного коэффициента. С по- мощью аналогичного способа легко показать, что при /'</ в результате пере- броса производных с функции, характеризуемой индексом 1 + тУ на функцию с индексом /' — т интеграл A1.68) обратится в нуль 2. С помощью соотношения A1.62) мы можем выражение для шаровой функции A1.67) представить в виде Т т/Щ^)в-Ф, (I,.67a) где {1 ( при т при т<0. Заметим, что многие авторы вообще полагают коэффициент ат = \. В том случае, когда можно ограничиться нахождением шаровых функ- ций, удовлетворяющих только условию ортонормированности A1.68), оба ре- шения являются совершенно равноправными, поскольку ат—\. Однако там, где необходимо использовать рекуррентные соотношения между шаровыми функциями с различными индексами т [см. ниже формулы A2.17), A2.18)], например при нахождении правил отбора для ротатора (см. § 12) или в ре- лятивистской теории центральных сил (см. § 18), следует брать значение для коэффициента ат в виде A167 6). Наконец, найдем четность шарввой функции, т. е. ее поведение при инверсии пространства, сводящейся к изменению направле- ния всех трех осей декартовых координат. Тогда ф—*Я-Ьф, ® -*Я — Ф ИЛИ СОЗф-* — COS Как видно из формулы A1.61), в этом случае Р^ (х) -> Р™ ( - х) = (- l)/+mp™ (х),' irn р itnq> . otTtm —- [ 1 \ Поэтому шаровая функция при инверсии пространства будет преобразовываться по закону: Отсюда видно, что орбитальное квантовое число / характери- зует четность шаровой функции. При четных / шаровая функция будет четная (при инверсии пространства она не изменяет сво- его знака), а при нечетных / — нечетная (при инверсии простран- ства она изменяет свой знак на противоположный). Ви переглядаєте статтю (реферат): «Разделение переменных. Собственные функции» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
|
Категорія: Квантова механіка і атомна фізика | Додав: koljan (11.11.2013)
|
Переглядів: 675
| Рейтинг: 0.0/0 |
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі. [ Реєстрація | Вхід ]
|
|
|