Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Квантова механіка і атомна фізика

Разделение переменных. Собственные функции

Будем ре-
шать уравнение A1.17), основываясь на методе разделения пе-
ременных. Представляя искомую волновую функцию в виде
произведения радиальной части на угловую
у = /?(г)У(ф,ср) A1.19)
и умножая исходное уравнение на(-тгтг!, получаем
[ RYI'
(Ц.20)
Так как слева здесь стоит величина, зависящая только от г, а
справа — только от углов О и ф, это равенство может иметь ме-
сто лишь в том случае, когда и левая и правая части равны по
отдельности некоторой постоянной величине X, получившей па-
звание постоянной разделения.
Таким образом, для радиальной и угловой частей волновой
функции будем иметь соответственно уравнения
V,2/? + ^ --? ) Я « 0, A1.21)
V^qy + A,y-0, A1.22)
причем весьма важно то обстоятельство, что последнее уравне-
ние для угловой части не содержит переменной г и не зависит
от конкретного вида потенциальной энергии V, вследствие че-
ю, как мы уже отмечали в начале параграфа, его решение Су-
дет справедливым для любых центральных сил.
Пила1ая далее
), A1.23)
§11. Общая теория движения частно в центрально-сммметричном поле 149
с помощью способа, использованного при отделении радиальной
части от угловой, находим для разделенных функций 0 и ф сле-
дующие уравнения:
УфФ + т2Ф = 0. A1.25)
Здесь т2 является постоянной разделения; кроме того, мы ввели
обозначения;
V* = -?L, A1.27)
в которых частные производные заменены полными, поскольку
каждая из функций © и Ф зависит только от одной переменной.
Таким образом, для определения собственных значений энер-
гии Ег и соответствующих им собственных функций г|?г мы полу-
чили три уравнения: A121), A1.24), A1.25), причем если по-
следнее из них содержит только один параметр т2, то второе и
первое — по два.
Поскольку при решении одного уравнения можно найти соб-
ственные значения только для одного параметра, решение всей
задачи мы должны начинать с решения уравнения A1.25), а за-
тем, зная т2, переходить к решению уравнения A1.24) и, нако-
нец, к решению уравнения A1.21) для радиальной функции.
При нахождении нормировочного коэффициента можно вос-
пользоваться соотношением:
с» я 2я
| \b*ib??3#= | R*Rr2dr I 0*0 sin'Odd | Ф*ф^ор,
и о и
из которого видно, что нормировку можно лроизводить для
каждой из функций по отдельности:
f R9Rr2dr=*l, A1.28)
о
л
J в*0 sin *</•&=* 1, A1.29)
о
J ф*ФЛр= 1. A1.30)
150 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Частное решение для азимутальной функции [см. уравнение
A1.25)] может быть представлено двояким способом;
либо
ф = С^гтф, A1.31)
либо
Ф - A cos (mq> -f q>0). A1.32)
Каждое из этих частных решений имеет различную физическую
интерпретацию. В самом деле, решение A1.31) соответствует
бегущей по окружности волне и отвечает, например, равномер-
ному вращению электронов, в то время как решение A1.32) свя-
зано со стоячими волнами и соответствует, например, колеба-
ниям электрона по некоторой дуге. Чтобы функция Ф описывала
вращение электрона вокруг ядра, она должна быть выбрана в
виде бегущих волн A1.31). Так как второе решение, пропорцио-
нальное е~гтф, может быть получено из первого путем замены т
на —т, то, не ограничивая общности, решение следует вообще
выбрать в виде:
ф = С^™ф, A1.33)
причем величина т может пробегать как положительные, так и
отрицательные значения.
Учитывая, что волновая функция должна удовлетворять тре-
бованию однозначности (см. § 4), на функцию Ф(ф) необходимо
наложить условие периодичности:
Ф(ф)=Ф(Ф + 2я), A1.34)
мз которого следует, что
Отсюда для величины т, получившей название магнитного
квантового числа, имеем:
га = 0, ±1, ±2, ±3 A1.35)
Из условия нормировки A1.30) находим С = f ¦. Непо-
средственным вычислением легко показать, что функции
±е^ A1.36)
будут удовлетворять условию ортонормированности
о
Поскольку собственные значения т известны, а также най-
дена волновая функция, зависящая от азимутального угла ф,
можно приступить к решению уравнения A1.24),
§ 11. Общая теория движения частиц в центрально-симметричном поле 151
Вводя новую переменную
jc = cosO A137)
и обозначая производные по х штрихами, вместо A1.24) полу-
чаем уравнение:
Нетрудно видеть, что последнее уравнение имеет особые
точки при х=±1. В этих точках один из коэффициентов при в
обращается в бесконечность. Чтобы исключить указанную рас-
ходимость, будем искать решение в в виде
e = (l-x2f2u. A1.39)
Подставляя A1.39) в A1.38) и сокращая все равенство на
A — x2)sl2> получаем
A - х2) и" - 2х (s + 1) и' + [я - s2 - s + ^ Z ™* ] и = 0. A1.40)
Мы исключим особенность в последнем члене, полагая
5=± \т\.
Решения, отвечающие этим двум значениям s, удовлетво-
ряют одному и тому же дифференциальному уравнению, по-
скольку основное уравнение A1.38) зависит лишь от т2. Следо-
вательно, эти решения могут отличаться друг от друга только
постоянным множителем
в(|т|)=Лв(-|т|). A1.41)
Учитывая последнее соотношение, будем решать уравнение
A1.40) при
s = m>0. A1.42)
В силу же соотношения A1.41) оно автоматически распро-
страняется также и на отрицательные значения т.
При условии A1.42) уравнение A1.40) принимает вид
A— х*)и" — 2х(т+ \)и' + (К — т(т+ 1))м=0. A1.43)
Поскольку последнее уравнение не имеет особенностей, его ре-
шение может быть представлено в виде ряда
и=2аЛ**, A1.44)
/е=0
в результате подстановки которого в уравнение A1.43) полу*
чаем:
?=0
152 ЧАСТЬ ! НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Группируя члены с одинаковыми степенями х, приходим к ра-
венству
2 {(ft + 2) (ft + \)ak+2 + [X - {k + m){k + m + 1)] aJx* = 0,
fe = 0
из которого следует рекуррентное соотношение
(к + 2)(ft + l)ak+2 = - [Я. - (ft + m)(ft + m + 1I ab (i 1.45)
связывающее между собой все коэффициенты ряда A1.44).
Ввиду того что коэффициенты ak связаны лишь afe+2, т. е. через
один, функция и будет либо четной, либо нечетной в зависимости
от того, является ли старший член (см. ниже) четным или не-
четным.
Требуя, чтобы ряд A1.44) был ограничен некоторой макси-
мальной степенью k = q, т. е. был бы полиномом порядка q9 мы
должны ввести условие
= 0, a7 Ф 0,
Отсюда на основании A1.45) получаем:
X=(q + m) (q + m+l)9 A1.46)
где q = 0, 1,2, 3 A1.47)
т. е. равно той степени, на которой мы обрываем рял Звстя ор-
битальное квантовое число /
находим, что оно может принимать, так же как и числа q и тч
лишь положительные целые значения, включая нуль, т. е.
/ = 0, 1, 2, 3, ..., {\\ЛЪ)
причем в силу A1.48)
1>т. A1.50)
Принимая во внимание, что согласно A1.48) и A1.46)
А, = /(/+1), A1.51)
уравнение A1.40) можно привести к виду
) — т(т+1)]и = 0, A1.52)
1па
A1.53)
а{х
Мы не будем выражать коэффициенты af, через ап+2 с помощью
рекуррентного соотношения A1.45), а представим сразу послед-
нее решение в свернутой форме.
Для этого введем функцию
§11. Общая теория движения частиц в центрально-симметричном поле 153
подчиняющуюся уравнению
A — x2)v' + 2xlv = 0, A1.55)
которое нетрудно получить, взяв первую производную от v по х.
Дифференцируя A1.55) с помощью правила Лейбница
[см. (8.34а)] (Z + m-f 1) раз и полагая
v<l+m)^-j^(x2-l)l = ub A1.56)
для функции и\ получаем уравнение:
A - х2) и'[ - 2х {т + 1) и\ + [I (I + 1) - т (т + 1 )]щ = О, A1.57)
точно совпадающее с дифференциальным уравнением A1.52)
для функции и. Следовательно, функции и и щ должны быть
пропорциональными друг другу
и = const u\. A1.58)
Поскольку нормировочный коэффициент функции 0 пока еще
1
не определен, эту постоянную положим равной ——, исходя из
тех соображений, чтобы при т = 0 последнее решение перехо-
дило в полином Лежандра
Таким образом, будем иметь:
1 dl
u~'2h\ dxl+m хл i;"
Отсюда с помощью A1.39) находим значение для функции в1:
в? = С?РГ(х). A1.60)
1 Второе решение уравнения A1.38) при Х=/(/-Н) будет пропорцио-
нально функции
Qw= (-l)m(l -x2)m" -r-fa Qi(x), (ll.bla)
где функция Леж^ндра второго рода
(n.6l6)
a W/_i(\) является неким полиномом степени I—1 (причем W_i(x)=0), не-
содержащим никаких расходимостей. Поскольку первый член правой части
равенства A161а) дает для функции Q™ {х) расходимость в особых точках
(jc=±1), то поэтому эхо решение следует в случае уравнения Шредингера
вообще отбросшъ.
154 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Здесь pf — присоединенный полином Лежандра, определяемый
выражением
a Cf — нормировочный коэффициент.
Хотя последнее выражение было получено для положитель-
ных значений m в силу известного соотношения 1
/W=(-l) (/-m)l P/ (А:)' (П.62)
оно автоматически распространяется также и на отрицательные
значения т. Из равенств A1.61) и A1.62) можно окончательно
установить область изменения квантового числа т:
т = 0, ±1, ±2, ... ±1; A1.63)
это следует из того факта, что при \т\>1 решение Р/* обра-
щается в нуль.
Коэффициент СТ в A1.60) может быть найден из условия
нормировки
-1
1 Для доказательства выражения A1.62) преобразуем его с помощью
равенства A1.61) к форме
m\ A-\m\
x«-l)f-(/+lm|)l ^Hm| (j^-1)^ A1.64)
Поскольку же Pj" и P~m должны быть связаны между собой линейным со-
отношением [см. A1.41)], нам достаточно показать, что коэффициенты при
старшей степени х в обеих частях равенства A1.63) совпадают друг с дру-
гом, т. е.
в этом нетрудно убедиться, учитывая, что
при k<n.
при k > л.
§ 11. Общая теория движения частиц в центрально-симметричном поле 155
Подставляя сюда решение A1.60) и учитывая A1.62), полу-
чаем:
Перебрасывая производную со второго множителя на первый
(/-fm) раз, т. е. раскрывая последний интеграл /+т раз по ча-
стям, имеем:
Для шаровой функции УГ(в\ ф), удовлетворяющей уравне-
нию A1.22), на основании A1.23), A1.36) и A1.66) имеем:
причем условие ортонормированности для шаровых функций
принимает вид
156 ЧАСТЬ I НРРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
При интегрировании же по углу Ф в полиномах Лежандра следует положить
т' — т. Тогда, не ограничивая общности, можно выбрать /'</. Случай /' = /
только что рассмотрели при определении нормировочного коэффициента. С по-
мощью аналогичного способа легко показать, что при /'</ в результате пере-
броса производных с функции, характеризуемой индексом 1 + тУ на функцию
с индексом /' — т интеграл A1.68) обратится в нуль
2. С помощью соотношения A1.62) мы можем выражение для шаровой
функции A1.67) представить в виде
Т т/Щ^)в-Ф, (I,.67a)
где
{1
(
при т
при т<0.
Заметим, что многие авторы вообще полагают коэффициент ат = \.
В том случае, когда можно ограничиться нахождением шаровых функ-
ций, удовлетворяющих только условию ортонормированности A1.68), оба ре-
шения являются совершенно равноправными, поскольку ат—\. Однако там,
где необходимо использовать рекуррентные соотношения между шаровыми
функциями с различными индексами т [см. ниже формулы A2.17), A2.18)],
например при нахождении правил отбора для ротатора (см. § 12) или в ре-
лятивистской теории центральных сил (см. § 18), следует брать значение для
коэффициента ат в виде A167 6).
Наконец, найдем четность шарввой функции, т. е. ее поведение
при инверсии пространства, сводящейся к изменению направле-
ния всех трех осей декартовых координат.
Тогда
ф—*Я-Ьф, ® -*Я — Ф ИЛИ СОЗф-* — COS
Как видно из формулы A1.61), в этом случае
Р^ (х) -> Р™ ( - х) = (- l)/+mp™ (х),'
irn р
itnq> . otTtm —- [ 1 \
Поэтому шаровая функция при инверсии пространства будет
преобразовываться по закону:
Отсюда видно, что орбитальное квантовое число / характери-
зует четность шаровой функции. При четных / шаровая функция
будет четная (при инверсии пространства она не изменяет сво-
его знака), а при нечетных / — нечетная (при инверсии простран-
ства она изменяет свой знак на противоположный).

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Разделение переменных. Собственные функции» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»