Переход от квантовых уравнений движения к классическим
Сравним классическое уравнение движения mox = F{x) G.49) с соответствующей квантовой формой G.48). Как было отмечено, роль классической координаты в кванто- вой теории играет величина {х). Поэтому мы могли бы считать, что квантовое уравнение совпадает с классическим, если бы вме- сто G.48) имели mo~^-(x) = F((x)), G.50) т. е. если бы в классическое соотношение между силой и коорди- натой было подставлено вместо х его среднее значение {х). Од- нако согласно теореме Эренфеста в уравнения движения в кван- товом случае входит среднее значение самой силы, т. е. {F(x)). Поэтому, чтобы перейти от квантовых уравнений движения к классическим, прежде всего следует установить связь между {F()) hF({x)). Представим для этого оператор силы F(x) в виде G.51) § 7. Статистическое толкование квантовой механики 95 где /Sx = х — {х), и разложим F(х) в ряд Тейлора вблизи точки х = {х). Тогда получаем: F{x) = F((x)) + (bx)F'((x)) + l±f-F"((x))+ .... G.52) Производя усреднение этого выражения по формуле G.4) и при- нимая во внимание, что (Ах) = {х — {х)) = О, получаем: (F (х)) = F «х» + -tt*f±- F" «х» + ... . G.53) Поэтому квантовые уравнения движения G.48) принимают вид mo -?r(x) = F «х» + Щр- F" ((х)). G.54) Здесь выражение * F" {(х)) является квантовой поправ* кой к классическому уравнению Ньютона. Очевидно, критерием перехода квантовых уравнений движения в классические яв- ляется неравенство |?$^| G.55) Однако следует заметить, что выполнение этого условия еще не означает возможность применимости всех классических поня- тий для описания движения микрочастицы. В самом деле, в кван- товой механике среднее значение кинетической энергии (Г) опре- деляется выражением в то время как классическим аналогом кинетической энергии дует считать величину Ц? G.57) Выразим теперь квантовое определение кинетической энергии {Т(рх)) через ее классический аналог Т({рх)). Для этого вое- пользуемся соотношением Т (р,) = Т «р,> + Др,) = ({Px\+m^xY , G.58) где Држ == рж — (Рх). Раскрывая в последнем равенстве скобки и принимая во внимание, что при усреднении имеем: ) ^). G.59) ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Отсюда следует условие перехода от квантового выражения ки- нетической энергии G.56) к классическому ((Apxf) < (РхJ = 2т J ((рх)). G.60) Умножая равенство G.60) на G.55), находим общее условие возможности использования классического приближения в мик- ромире ((АхJ) ((Арх?) < 4ш0Т ((рх)) | p&L |. G.61) Если к тому же учесть еще соотношение неопределенности то последнее условие принимает вид
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Переход от квантовых уравнений движения к классическим» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
