Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Квантова механіка і атомна фізика

Связь между теорией Шредингера и классическим уравнением Гамильтона — Якоби

Уравнение Гамильтона — Якоби„
описывающее в классической механике движение материальной
точки в поле потенциальных сил, является нелинейным диффе-
ренциальным уравнением первого порядка.
При переходе от уравнения Шредингера к классическому
уравнению Гамильтона — Якоби связь волновой функции \|? с
действием S следует выбрать в виде
Ф = лД5. E-32>
Будем исходить из уравнения Шредингера, записанного в опе-
раторном виде
( ) 0. E.33)
Принимая во внимание конкретный вид оператора р =—ih V,
согласно E.32) имеем:
E.34)
Из уравнения E.34) мы видим, что соотношение E.32) приводит
к той же связи между оператором импульса р и действием 5, ка-
кая была установлена в классической теории. Однако при вычи-
слении р2 появляется дополнительный член, пропорциональный Ь
[см. E.35)]. Подставляя E.35) в E.33), получаем уравнение
Л ^O, E.36)
которое является преобразованным уравнением Шредингера.
Чтобы получить уравнение Гамильтона — Якоби, мы должны
пренебречь последним членом, т. е. положить Ь = 0. Как извест-
но, при Ь = 0 квантовое уравнение должно переходить точно в
классическое
JL-f+V-E-0, E.37)
ЧАСТЬ Г НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
из которого видно, что
dS. E.38)
Если же ПфО, то при соблюдении условия
(gradSJ>fi|V2S| E.39)
квантовые члены дадут небольшие поправки к классическому
уравнению. Соответствующее приближение носит название ква-
зиклассического
Принимая во внимание, что р = grad S, последнее условие
можно записать в виде
В частности, для одномерного случая имеем:
Л
dp
dx
d(h/p)
dx
=
d%
2ndx
Таким образом, квазиклассическое приближение оказывается
достаточно точным в том случае, когда дебройлевская длина
волны постоянна, либо слаб© изменяющаяся величина. Уточним
последний вывод на конкретном примере.
Принимая во внимание, что
~V), E.41)
E.40) мы можем записать в виде
< 1, E.42)
ъ
9
dp
dx
Рз
где г = —-г классическая сила, действующая на частицу.
Отсюда, в частности, следуем, что квазиклассическое прибли-
жение становится неиримеьшмьш ир« малых значениях импульса
частицы и в особенности в тех точках, где по классической тео-
рии частица должна остановдапься ^E=V9 р = 0). Такое лоло-
жение имеет мест©, например, в елучае, когда частица, находясь
в потенциальной яме, в результате отражения от потенциального
барьера начинает возвращаться обрашо (точки поворота). Все
это может найти простое ебъяшшше, если учесть, что шри р-*0
дебройлевская длина волвы С1ремш:€я к бесконечности, и поэто-
му волновые свойства частвды будут проявляться особенно
сильно.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Связь между теорией Шредингера и классическим уравнением Гамильтона — Якоби» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»