Чтобы получить нестационарное (полное) уравнение Шредингера, необходимо в стационарном уравнении исключить энергию Е, играющую роль постоянного параметра. Представим для этого стационарное уравнение Шредингера D.8) в виде (?^) 0. E.1) где Тогда, исключая из него параметр Е с помощью соотношения _f±tGL-?*(/), E.2) которое имеет место для любого значения энергии, получаем не- стационарное уравнение Шредингера 0. E.3) Б этом уравнении энергия не фиксирована, и оно пригодно для описания процессов, в которых потенциальная энергия V являет- ся функцией не только координат, но и времени. Если потенциальная энергия V от времени не зависит, то нам достаточно решить стационарное уравнение Шредингера и опре- делить все возможные собственные значения энергии Еп и при- надлежащие им собственные функции \|)n. Волновая функция, удовлетворяющая уравнению E.3), будет связана с этими част- ными решениями линейным соотношением . E.4) п В самом деле, подставляя E.4) в E.3) и учитывая, что Сп яв- ляются постоянными коэффициентами, a t|)n удовлетворяют урав- нению ^ , E.5) § 5. Нестационарное уравнение Шредингера S3 нетрудно убедиться, что ty(t) является общим решением уравне- ния E.3), так как t( ^1U =0 \ / dt ^ 2mQ )^К) ^Ьпе Vе" ^ 2/По ) E.6) Монохроматическая волна является частным случаем общего решения E.4). В этом случае мы должны положить в E.4) С„о = 1 и Сп = 0 (если п фп0). Следует также заметить, что переход от стационарного уравне- ния E.1) к нестационарному E.3) эквивалентен в сущности фор- мальной замене энергии ? величиной ih~^-, называемой в кван- товой механике оператором энергии Е = »-!-• E.7) Действие этого оператора на какую-либо функцию сводится к обычному дифференцированию этой функции по времени, т. е. Е является так называемым линейным дифференциальным опера- тором 1. Для монохроматической волны, когда имеем: Отсюда видно, что энергия Еп является собственным значением оператора энергии Е. Кроме оператора энергии, в квантовой механике вводятся и другие операторы, наиболее важным из которых является опера- тор импульса 1 Линейные операторы при действии на обычные функции должны удо- влетворять следующим соотношениям: МС/-СМ/, E.7а) где С — произвольная постоянная. В качестве линейного оператора мы будем выбирать чаще всего опера- тор дифференцирования (соответствующие операюрные величины будем обо- значать прямым шрифтом). Вообще свойству E.7а) для линейного оператора удовлетворяют и обычные функции. В качестве операторов можно выбрать также и матрицы (см § 8). $4 ЧАСТЬ Т. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА который носит такое название потому, что его собственное зна- чение для свободного движения частицы совпадает с классиче- ским импульсом. Например, действуя оператором р на волновую функцию сво- бодной частицы [см. D.61)], получаем: В данном случае собственным значением оператора р являет- ся классический импульс р. Пользуясь операторной символикой, полезной в том отноше- нии, что она более наглядно иллюстрирует связь между кванто- выми и классическими законами движения, уравнение Шредин- гера E.3) можно представить в виде Таким образом, чтобы совершить формальный переход от клас- сической теории к квантовой, следует в классическое выражение закона сохранения энергии вместо энергии Е и импульса р подставить соответствующие опе- раторные значения и подействовать ими на волновую функцию К Оператор ~^- называют оператором кинетической энергии Т, а Т + V — оператором функции ГамильтЪна Н, который ради крат- кости в дальнейшем мы будем называть просто гамильтонианом. Учитывая значения этих операторов, уравнение E.9) можно записать еще в виде (E-H)iH0 = 0. E.10X В случае, когда потенциальная энергия V не зависит от времени, в силу соотношения Eyn(t) = Enqn(t) . E.11) 1 Если электрон находится не только в электрическом, но и в магнитном шле, характеризуемом вектор-потенциалэм Л, то, учитывая классическое выражение для гамильтониана, в котором при наличии магнитного поля мы должны сделать замену р->р А нестационарное уравнение Шредингера следует записать в виде: е Л2 } - - еФ | ф @ - 0. E.9а) § 5. Нестационарное уравнение Шредингера 55 стационарное уравнение Шредингера приводится к форме = 0. E.12) Отсюда видно, что для стационарных процессов собственное зна- чение гамильтониана равняется собственному значению энергии, точно так же, как и в классическом стационарном случае, функ- ция Гамильтона равняется энергии частицы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Переход к нестационарному уравнению Шредингера» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
