В качестве примера опре- деления собственных значений и собственных функций рас- смотрим движение частицы в одномерной потенциальной яме. Поскольку нас сейчас инте- ресует главным образом мето- дическая сторона задачи, вы- берем простейшую зависи- мость потенциальной энергии от расстояния (фиг. 4.1): D.19) Тогда уравнение Шредингера для области II (Е > V = 0, по- тенциальная яма) принимает вид где * a Фиг. 4.1. Движение частицы в потенциальной яме. 0 Vo при при при - оо<*<0 0<х<1 1<Х<оо (область (область (область I). И), ш). dx* '-/¦ 2т0 D.20а) Заметим, что в данной задаче случай ?<0 не имеет физиче- ского смысла. Общее решение уравнения D.20), носящее колебательный ха- рактер, будет: о|)/7 = Bjj cos kx + AJf sin kx. D.21) Уравнение Шредингера для областей I и III имеет вид: D.22) Здесь следует различать два случая. В первом случае (E>V0) решение в этих областях также будет носить колеба- тельный характер, определяемый уравнением D.21), причем ве- личина k\ имеет значение -'1 л г и \— » и/- Каких-либо ограничений на бесконечности для волновой функции при этом вводить не следует, и поэтому энергия Е может прини* § 4. Стационарное уравнение Шредингера Фиг. 4.2. Волновая функ- ция при некотором зна- чении Е. За ось абсцисс для волновой функции взят энергетиче- ский уровень. I Экспоненциально возрастающее решение -V(x) Экспоненциально убывающее решение E<V мать любые непрерывные значения. Однако случай непрерывного спектра лучше исследовать не на этом примере (наличие потен- циальной ямы только усложнит в математическом отношении задачу, но не изменит общего характера решения), а на примере свободного движения частицы (см. ниже). Во втором случае (Е < Vo—потенциальный барьер) решение уравнения D.22) имеет экспоненциальный характер, и поэтому его общее решение может быть представлено в виде где D.23) D.24) Заметим, что волновая функция при произвольном значении энергии @ < Е < Vo) внутри потенциального барьера содержит как экспоненциально возрастающее, так и экспоненциально убы- вающее решен-ия (фиг. 4.2). Поэтому мы должны выбрать такие значения Е, при которых экспоненциально возрастающие реше- ния внутри потенциального барьера отсутствуют. Для этого мы должны потребовать, чтобы в области I (х < 0) коэффициент В\ = 0, а в области III (х > /) коэффициент AOK Тогда D.25) причем в последней формуле ради простоты мы положили В1П = Be711. » Заметим, что при E<V0 число неизвестных коэффициентов у волно- вых функций будет меньше, чем число налагаемых условий Поэтому реше- ния станут возможны лишь при определенных значениях ?, что приводит к дискретности спектра. 46 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Фиг. 4.3. Частица в потен- циальной яме с бесконечно высокими стенками. Сшивая решения х на границах областей I и II (х = 0), а так- же II и III (х —/) при условии, что экспоненциально возрастаю- щее решение обращается в нуль, находим уравнение для опре- деления собственных значений энергии Е. Еще несколько упростим нашу задачу, а именно потребуем, чтобы потенциальная энергия Vq, а вместе с тем и величина к обратились в бесконечность [фиг. 4.3]. Тогда, как видно из D.25), \|)/ = ф/7/ = 0 и поэтому гранич- ные условия для решения D.21) внутри потенциальной ямы (об- ласть II) принимают вид: Ч>// = 0 при х = 0, D.26) г|)П = 0 при х = /. D.27) Волновая функция D.21) удовлетворяет этим граничным усло- виям, когда В/1=0 и sin ft/= 0. D.28) Из D.28) следует kl = ял, D.29) где п = 1, 2, 3, 4, ... . Значение п = 0 мы исключаем из рассмо- трения, так как при этом волновая функция тождественно обра- щается в нуль. Точно так же отрицательные значения п могут быть опущены, поскольку волновые функции при отрицательных значениях п равны волновым функциям с положительным п, но взятыми с обратным знаком. Учитывая, что получаем следующее выражение, определяющее спектр энергии (собственные значения) ^ D.30) 2т0/2 1 При сшивании решений мы должны в соответствующей точке прирав- нять сами функции, э также их первые производные. § 4. Стационарное уравнение Шредингера 47 соответствующие этим значениям энергии волновые функции (собственные функции) равны: jf D.31) причем коэффициент Ап может быть найден из условия норми- ровки i i j^ndx==Alj sin2nnjdx = ~ Ai = 1. о о Таким образом, окончательно находим: f Ъп = Ут sin я/г-f. D.32) Волновые функции D.32), представляющие собой собствен- ные функции уравнения Шредингера, согласно общей теореме о собственных функциях [см. D.17)] удовлетворяют условию ор- тогональности i J -ф^ dx = О при п'фп, D.33) о в чем нетрудно также убедиться простым интегрированием, под- ставляя сюда вместо волновой функции "фп ее выражение D.32). Выпишем теперь некоторые конкретные собственные значения Еп и собственные функции г|)п> которые изображены на фиг. 4.3: . пх m \ sin 2я Т' ?3 = 9Л1!, г|K = )/"у sin Зя Т • Приведенные здесь решения очень похожи на известные решения для колебания струны с закрепленными концами, которые обра- зуют стоячие волны. Случай п = 1 [см. D.34)] соответствует ос- новному тону, случай п = 2 [см. D.35)] — первой гармонике и т. д.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Частицы в потенциальной яме» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
