Задача о движении метеороида при переменности коэффициентов
будет автомодельной. Если же коэффициенты Г, Л, а, \х изменяются вдоль пути метеороида, задача не будет автомодельной. Некоторые частные случаи этой задачи с переменными коэффициентами были рассмотрены и решены Б. Ю. Левиным [147]. Ниже мы рассмотрим самый общий случай этой задачи с переменными коэффициентами. Попытка решить такую задачу была предпринята в 1964 г. Ф. Грантом [324а] в работе, посвященной движению космического аппарата в условиях сильной потери массы. Постановка задачи близка к применяемой в физической теории метеоров, а метод Гранта представляет интерес, поэтому мы изложим его здесь. Будем выражать все переменные величины в функции безразмерного параметра уменьшения размеров метеороида и. Этот параметр для сферы равен отношению текущего радиуса R к начальному Д0, для цилиндра и усеченного конуса — отношению текущей длины (высоты) I § 5. ЗАДАЧА ПРИ ПЕРЕМЕННОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ 41 к начальной /0 и т. д. Можно, таким образом, принять Поскольку в экспоненциальной изотермической атмосфере на основании (3.13) и (3.17) можно представить уравнение (3.1) в форме ■g---/<*)*. (5-3) где /(н) — баллистическая функция, равная /(*) = r^tf*secz. (5.4) Преобразуя далее с помощью (5.1), (5.2) и (3.6) уравнение (3.2), получим вместо него ■J--*(*)* (5-5) где g{%) — функция нагрева, равная Для большинства тел а = 1 — fx, поэтому показатель степени при н в (5.6) равен нулю и этот множитель можно считать тождественно равным единице. Дифференцируя (5.5) по р, с учетом (5.3) получим х" + 2/(х)и'-^и'2 = 0. (5.7) Это — основное уравнение теории Гранта, объединяющее оба уравнения физической теории метеоров (3.1) и (3.2). К сожалению, Грант не получил его общего решения, а начал вводить разного рода упрощения, чем свел на нет все преимущества своей постановки задачи. Между тем уравнение (5.7) решается до конца без всяких упрощений с помощью подстановки р(х) = х'(р). (5.8) -42 ГЛ. I. ПРОСТАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕТЕОРОВ Тогда вместо (5.7) будем иметь РР'+б(х)р« + 2/(х)р=0; G(x) = -£lW (5.9) Решение р = О соответствует х(р) = const, т. е. отсутствию абляции. Оно нас не интересует, поэтому можно считать р Ф О и разделить (5.9) на р. Получим линейное уравнение первого порядка р' + G(*)p + 2/(х) = 0, (5.10) решение которого имеет вид Р = е-ф (Ро - 2 J / (х) e*d*\ (5.11) где ро — значение р при х = хо и ф(х) = JG(x)dx. (5.12) Подставляя в (5.12) значение G(x) из (5.9), получим Ф(«>-1.*$. .«-^. (5.13) Не нарушая общности, мы можем принять хо = 1 (мо- о lyt\ мент начала испарения); тогда р0 = 0, , ч = Л(х), #(Л>) и с учетом (5.4) получим р = 2tf * sec гЛ (х) j Щ •-£ At. (5.14) Заменим в (5.14) под знаком интеграла Г/Л на (2(>о)"1, a SIM по формуле (3.6); тогда с учетом (5.1) получим (помня, что а = 1 — \i) 1 Р. = А Я* secz (' dx /г лк\ Таким образом, если функции Л(х) и а(х) нам заданы или известны, мы можем по формуле (5.15) найти § 5. ЗАДАЧА ПРИ ПЕРЕМЕННОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ 43 р (х) = -т- для любой точки траектории метеороида и рассчитать потерю им массы вдоль пути, в соответствии с формулой (5.1), по формуле <ш = ^ни-«>/«р (5Л6) Торможение рассчитывается по формуле (5.3), в которой мы в соответствии с (5.1) и (3.6) полагаем причем Г находится по известным Л и а. Рассмотрим теперь другой метод решения общей задачи движения метеороида с переменными коэффициентами, разработанный автором книги [55]. В этом методе предполагается, что коэффициенты Г, Л и а зависят известным образом от аргумента 1 — \1 ( и \2__ и X ■ 1 — ^0 V ^0 7 Л) (5.18) который в случае р, = const равен просто (5.19) *=ш* Тогда, полагая а = а(#), получим вместо (3.10) X 1пЖ-=Т-!а(^=4ВД' (5.20) 0 i где £ — переменная интегрирования и X 2(*) = ja(£)dg. (5.21) i Но из (5.20) следует также 2(х)^1гХ' (5-22) ц, значит, функцию ЕЫ можно определять из наблюдений по известным M/M0l и0 и и (последнее нужно для 44 ГЛ. I. ПРОСТАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕТЕОРОВ определения аргумента х). Если же имеется разумный способ задать Т(х) и ЛЫ или ТШ/М0) и Л(М/Л/0), то можно аппроксимировать 2(х) и сравнить ее с данными наблюдений. Из (5.21) следует, что <*(*) = ■§-• (5.23) С помощью (5.23) можно определять <у(х) из наблюдений. Найдем теперь решение уравнения торможения* Полагая Т(х) = Го^Ы и учитывая (5.20), получим вместо (3.20) J 1771) м!»б«" • (- ' 1 ° Введя обозначение *<*Н L ft (В J ' <5'25) 1 получим окончательно решение (3.1) в виде У (х) = - KQe-hIH\ (5.26) где Ко выражается формулой (4.1) с подстановкой в нее Го вместо Г. Поскольку, в отличие от К, К0 = const, ход функции *Р (х) нам известен с точностью до постоянного множителя (некоторую неопределенность создает незнание Ао и б метеороида). А так как в подынтегральном выражении (5.25) все величины, кроме \i и ^(£), известны, то можно, задав некоторое fx, получить из наблюдений также функцию tw-sntmr- <5-27> Может показаться, что аргумент х неудобен для задания функций о(#) и у(х), поскольку он заранее неизвестен, а наоборот, должен быть определен в ходе решения. Покажем, как можно «привязать» величину х к шкале высот. Перепишем формулу (4.2) в следующем § 5. ЗАДАЧА ПРИ ПЕРЕМЕННОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ 45 виде: л__ Ei (ио) - Ei {и) = KeU° н\ (5.28) Воспользовавшись разложением интегральной показательной функции в ряд [220], получим lnJLy^- = KeU°~^. (5.29) О 71=1 Если торможение еще невелико (это справедливо на большей части пути метеора), то 1— х< 1, и можно положить 1п#«#— 1. Кроме того, в этом случае Подставляя (5.29) и (5.30) в (5.28), получим x = —=i- Ke~h/H\ (5.31) Формула (5.31), как показывает ее применение к наблюдательному материалу [55], дает результат, отличающийся от даваемого формулой (5.20) на 10"5 — 10~3 до значений х = 0,95 и на 10~2 (1%) до х — 0,80. Простота формулы (5.31) заставляет рекомендовать ее для использования хотя бы до х = 0,9. Если бы можно было положить Г = const, то мы получили бы К = Ко и из сравнения (5.26) и (5.31) простое соотношение ТО = «-1. (5.32) Это соотношение приближенно выполняется для ярких болидов на значительном участке их траектории в диапазоне трех порядков величины 1-х (от 10~3 до 1), как можно видеть из рис. 6. Практически величину х для заданной высоты h находим так. Пусть х — величина, определяемая формулой (5.31), но с заменой К на К0 (т. е. в предположении Г = const): z' = l-K9e-h,H\ (5.33) 46 ГЛ. I. ПРОСТАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕТЕОРОВ Пусть теперь нам задана функция ^(х). Определяем х из (5.33) и находим ^Ся'), подставив которую в (4.1), получим К\ (первое приближение для Ю, а из (5.31) — Рис. 6. Функция Ч? (х) для ярких болидов. х\ (первое приближение для х). Повторяя итерации, мы быстро найдем х для заданного h. Применение формул этого параграфа к наблюдательному материалу содержится в работе [55J.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Задача о движении метеороида при переменности коэффициентов» з дисципліни «Фізика метеоритних явищ»
