Математическая обработка данных и анализ результатов измерений (испытаний)
При проведении инструментальной оценки и использовании полученных результатов следует учитывать, что результаты измерений дают приближенное значение измеряемой величины, т.е. могут содержать погрешности. Погрешности можно разделить на следующие группы. Грубые (промахи) связаны с неверными расчетами или недостаточной тщательностью в работе. Они быстро обнаруживаются, так как числовые значения величин резко отличаются от результатов других испытаний. Грубых ошибок можно избежать, если при проведении эксперимента тщательно проводить испытания и внимательно снимать и записывать показания приборов. При обработке результатов анализа грубые погрешности не учитывают, результаты дополняют новыми данными. Такие погрешности не являются систематическими, однако они не случайны, так как не вызваны влиянием разных многочисленных факторов. Систематические погрешности вызваны одной или несколькими причинами, действующими по определенным законам. Возникают вследствие применения неоткалиброванных или неисправленных приборов, неточных гирь, нарушения методики измерения. Например, на изменение высоты ртутного столбика термометра может влиять температура окружающей среды, если он не полностью погружен в измеряемую среду. Систематические погрешности бывают постоянными и переменными. Появление первых обусловлено постоянно действующими причинами, например дефектностью измерительной аппаратуры или приборов. Переменные систематические погрешности вызываются причинами., которые изменяются определенным и закономерным образцу например равномерным изменением температуры или влажность воздуха. Систематические погрешности можно исключить после проверки и наладки приборов, тщательно соблюдая методы испытаний и сопоставляя их с другими, а также введя соответствующие поправки. Допустимые приборные погрешности (инструментальные, аппаратурные), обусловленные несовершенством конструкции и изготовления правильно работающего прибора и не противоречащие существующим нормам. Присущи почти всем приборам, имеющим подвижные части. Уменьшение свободы смещения влечет за собой увеличение трения, непостоянство которого может быть причиной больших погрешностей. При высоком качестве технологии изготовления приборов эти погрешности незначительны. С увеличением срока эксплуатации приборов эти погрешности существенно увеличиваются. К инструментальным погрешностям относятся погрешности, возникающие из-за неточности нанесения отметок шкалы или погрешности градуировки. Износ и старение материалов, из которых изготовлены детали приборов, — постоянные причины приборных погрешностей. Допустимые приборные погрешности указываются в паспорте каждого прибора. Случайные погрешности вызываются факторами, которые носят случайный характер и не поддаются учету, поэтому вероятность ошибки в ту или иную сторону одинакова. Случайные отклонения отдельных измерений не могут быть предсказаны, но при достаточно большом числе измерений они подчиняются законам теории вероятностей. Исходя из этих законов, чтобы избежать случайных погрешностей, всякое измерение необходимо выполнить максимальное количество раз, при этом случайная погрешность становится очень малой и учитывается при определении доверительных интервалов, а среднее арифметическое значение измеренной величины приближается к истинному значению измеряемой величины. Ошибки выборки получаются из-за того, что для определения показателей качества берется часть материала, обычно незначительная по сравнению со всей оцениваемой его массой. Для того чтобы по данным выборки можно было достоверно судить о показателях качества всей генеральной совокупности, необходимо, чтобы выборка была репрезентативной (представительной). Сплошное исследование показателей качества почти не проводят, так как это связано с уничтожением всей партии товаров и требует больших материальных затрат и времени. Поэтому испытаниям подвергают только часть партии; ошибки выборки необходимо учесть при использовании результатов испытаний. Таким образом, результат каждого измерения, как бы тщательно оно не было проведено, всегда отличается от истинного значения измеряемого значения, т. е. всегда имеет некоторую погрешность и является приближенным значением истинной величины. Оценка точности испытаний осуществляется при помощи абсолютной, относительной и средней квадратической ошибок, а также доверительного интервала. В процессе записи результатов измерения, а также при вычислении статистических характеристик используются приближенные числа, поэтому необходимо придерживаться следующих правил при всех вычислениях: 1. Результаты измерений или вычислений должны содержать строго определенное число значащих цифр, причем последняя цифра должна быть сомнительной, а предпоследняя достоверной. 2. Отбрасывая излишние (неточные) цифры, надо прибавить единицу к последней сохраняемой цифре, если отбрасываемая цифра была больше 5, например 25,7514 = 25,8. 3. Цифры, кроме нуля, всегда значащие. Нуль является значащей цифрой, если он стоит между другими значащими цифрами. Например, в числе 0,0102 первые два нуля слева незначащие, а нуль между 1 и 2 — значащий. Нуль, написанный в правом конце числа (целого или дробного), может быть значащим и незначащим. Незначащими считают нули, записанные в погрешности подряд справа. Например, в выражении (1400+10) сН незначащим является последний нуль справа (в значении отклонения). 4. При умножении и делении приближенных чисел результат следует округлять до такого количества значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим числом значащих цифр, например 10,575 (5 значащих цифр)*2,5 (2 значащие цифры) = 26 (2 значащие цифры). 5. При сложении и вычитании приближенных чисел следует сохранять в окончательном результате не больше знаков после запятой, чем у числа с минимальным количеством знаков после запятой, например: 185,0 + 137,25 = 322,3 (правильно); 185,0 + 137,251 = 322,251 (неправильно). 6. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня), чем другие, то их следует предварительно округлять, сохраняя лишь одну лишнюю цифру по сравнению с числом, имеющим минимальное количество знаков после запятой. 7. В промежуточных результатах всех арифметических действий нужно оставлять на одну цифру больше, чем этого требуют правила 4 и 5, например: С= (2,15-2,1) + (3,51-1,5) + (8,31-0,80) = 4,52 + 5,27 + 11,09 + 6,65 = 27,5. 8. Если окончательный результат произведения или частного имеет первой значащей цифрой 1, 2, 3 или 4, то рекомендуется сохранять на одну цифру больше, чем этого требует правило 3. 9. При возведении в квадрат или куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число. 10. При извлечении квадратного или кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число. 11. Точность измерений какой-либо величины должна быть одинакова, т.е. должно быть определенное число знаков значащих цифр, например нужно писать не 3,232 и 3,2, а 3,23 и 3,20, если измерения проводят с точностью до сотых долей. 12. Точность измерения различных величин может быть неодинакова и определяется точностью имеющихся в распоряжении экспериментатора измерительных приборов. Таким образом, обработка результатов испытаний проводится в следующем порядке: 1. Среднее арифметическое значение показателей измеряемой величины Х = (х1 + х2 + ... + хп)/n (9.1) где n— число измерений. Среднее значение наиболее точно отражает истинное значение величины, приближаясь при бесконечно большом числе измерений к ее истинному значению X. 2. Определение абсолютной ошибки (погрешности) отдельного i-го измерения х , равной абсолютной величине разности между средним значением величины X результатом отдельного измерения х : х = ( Х - х ) (9.2) Абсолютная ошибка не позволяет корректно определять случайные ошибки, поэтому она используется только для приближенной (иногда грубой) оценки точности опыта. 3. Определение относительной ошибки хотн — определение выраженного в процентах отношения абсолютной ошибки к истинному или среднему значению измеряемой величины: хотн = х * 100 / Х (9.3) Относительная ошибка дает более правильное представление о точности измерений. 4. Среднее квадратичное отклонение
S = (9.4) где п < 30. Отклонение Sx характеризует точность отдельного измерения. Среднее квадратичное отклонение среднего значения измеряемой величины связана со средним квадратичным отклонением (ошибкой) отдельного измерения Sx выражением =Sx . (9.5) При большом числе измерений (я > 30) (lim S = ), где — стандартное отклонение случайной величины. Чем больше число измерений п, тем ближе к Sx. При сравнении рассеяний статистической совокупности по двум различным признакам это создает неудобства, а иногда рассеяния вообще несопоставимы. Одна величина S вне сравнения со средней величиной X не дает правильной оценки рассеяния. Сравнивать разные контролируемые партии продукции по показателю £ можно лишь при одинаковых средних значениях исследуемого свойства. Для устранения указанного недостатка используется коэффициент вариации. 5.Расчет коэффициента вариации, вычисляемого как отношение среднего квадратичного отклонения к среднему значению величины (%): V=100* S / Х (9.6) Значения коэффициента вариации могут быть использованы для оценки степени однородности испытуемого материала. В зависимости от вида исследуемого материала, точности методики испытаний, количества испытуемых образцов значения коэффициента вариации могут изменяться. Однако для целого ряда материалов и товаров могут быть приняты следующие коэффициенты вариации (%): V < 5 — высоко равномерная выборка (высокооднородный материал); 10 > V > 5 — достаточно равномерная выборка (достаточно однородный материал); 15 > V > 10 — неравномерная выборка (неоднородный материал); V > 15 — сильный разброс показателей (крайне неоднородный материал). При коэффициенте вариации более 15 % следует изменить методику испытаний или констатировать большую неоднородность свойств материала. 6. Определение доверительных интервалов при заданной доверительной вероятности. Доверительный интервал при заданной доверительной вероятности зависит от размера выборки, т.е. от числа проведенных опытов. Доверительная вероятность (надежность), полученная при вычислении доверительных границ и интервалов, дает более достоверное значение сводных генеральных характеристик. Для выборки объемом п подсчитывают выборочные значения Х и S и задаются при этом значением односторонней доверительной вероятности Р (обычно Р= 0,95). Нижнюю доверительную границу для генеральной средней Т определяют по формуле Т = (Х - t / (9.7) где t — квантиль распределения Стъюдента, который определяют по таблицам. Аналогично устанавливают верхнюю доверительную границу Т2: T2 = (Х - t / (9.8) 7. Определение ошибки опыта (измерения) сводится к определению возможного отклонения выборочного среднего значения Хср от среднего значения Мх по формуле Мх=Хср±m (9.9) Истинное значение генеральной средней величины m = tpS/ (9.10)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Математическая обработка данных и анализ результатов измерений (испытаний)» з дисципліни «Теорія товарознавства»
