Рассмотрим следующий пример. Требуется рассчитать среднюю зарплату по 3 предприятиям на основании данных о средней зарплате по каждому предприятию и фонде зарплаты по этим предприятиям:
Предприятие №1 №2 №3 Итого Средняя зарплата, тыс. руб. 100 150 200 ? Фонд заработной платы, млн. руб. 100 300 400 800
Для расчета средней зарплаты по предприятию по формуле средней арифметической не известна численность совокупности (в данном примере численность работников неизвестна). Обычно ее можно определить поделив ФЗП каждого предприятия на его среднюю зарплату. Отсюда имеем: тыс. руб. Нетрудно заметить, что в данном расчете в качестве весов применяются не единицы совокупности, а произведения этих единиц на значения признака ( - объем признака). Отсюда приходится варианты взвешивать по объемам признака. Такой расчет средней в статистике называется средней гармонической взвешенной и выражается формулой
.
(Известны индивидуальные значения признака и объемы признака по группам). Следовательно, средняя гармоническая это величина, равная средней арифметической, из обратных значений признака. В зависимости от характера имеющегося материала ее применяют тогда, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты или, что то же самое, умножать на обратное их значение. С применением формулы средней арифметической взвешенной расчет в рассмотренном примере имел бы следующий вид: тыс. руб. Рассмотрим второй пример. Три партии материала А куплены по разным ценам (50, 100 и 150 тыс. руб.). Требуется определить среднюю покупную цену материала А. В первой партии куплено 100 кг за 5 млн. руб., во второй 200 кг за 20 млн. руб., и в третьей 300 кг за 45 млн. руб. Если при исчислении средней цены за веса принять количество товаров, то верный результат дает формула средней арифметической взвешенной:
Если же в качестве весов будем применять стоимость партий, то верный результат дает средняя гармоническая:
Расчет средней может производиться как по формуле средней арифметической, так и средней гармонической. Преобразуем формулы этих средних, учитывая, что
; .
Получим, что формула средней гармонической переходит в среднюю арифметическую и обратно. Учитывая, что средняя гармоническая является средней из обратных величин признака по сравнению к средней арифметической, формулы для ее расчета нередко записываются так: Средняя гармоническая простая ; Средняя гармоническая взвешенная: . Только надо помнить, что в качестве весов (n и ) принимаются объемы признаков ( ). Можно из сказанного выше сделать вывод, что строго говоря, средняя гармоническая является не особым видом средней, а скорее особым методом расчета средней арифметической. В статистике же принято выделять среднюю гармоническую как отдельный вид средней; т.к. с ее помощью может быть упрощена техника расчета средней арифметической и, что более важно, учтен характер имеющегося статистического материала. Правильность выбора формы средней (арифметической или гармонической) может быть проверена также дополнительным критерием: если в качестве весов выступают абсолютные величины, всякие промежуточные действия при расчете средней должны давать значимые показатели. Например, для расчета средней цены умножением цены на количество товаров получается их стоимость. А деление стоимости товаров на их цены дает количество товаров. С помощью гармонической средней в статистике определяется средний процент выполнения плана (по данным фактического выполнения плана), средние затраты времени на выполнение операций (по данным о средних затратах времени на одну операцию и общее время работы по отдельным работникам) и т.д.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Средняя гармоническая» з дисципліни «Статистика»
