Корреляционный анализ является одним из методов статистического анализа взаимозависимости нескольких признаков. Основная задача корреляционного анализа состоит в оценке корреляционной матрицы генеральной совокупности по выборке и определении на основе этой матрицы частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации. Парный и частный коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между двумя переменными соответственно на фоне действия и при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель. Они изменяются в пределах от -1 до +1, причем чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем сильнее зависимость между переменными. Если коэффициент корреляции больше нуля, то связь положительная, а если меньше нуля — отрицательная. Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту, линейной связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель; он изменяется в пределах от 0 до 1. Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием всех остальных переменных (аргументов), входящих в модель. Исходной для анализа является матрица
размерности п х k, i-я строка которой характеризует i-е наблюдение (объект) по всем k показателям (j = 1, 2, ..., k). В корреляционном анализе матрицу Х рассматривают как выборку объема п из k-мерной генеральной совокупности, подчиняющейся k-мерному нормальному закону распределения. По выборке определяют оценки параметров генеральной совокупности, а именно: вектор средних , вектор средних квадратических отклонений s и корреляционную матрицу R порядка k:
где (53.1) (53.2)
xij — значение i-го наблюдения j-го фактора, ril — выборочный парный коэффициент корреляции, характеризующий тесноту линейной связи между показателями xj и xl. При этом rjl является оценкой генерального парного коэффициента корреляции. Матрица R является симметричной (rjl = rlj) и положительно определенной. Кроме того, находятся точечные оценки частных и множественных коэффициентов корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции (k - 2)-го порядка между переменными х1 и х2 равен
(53.3)
где Rjl — алгебраическое дополнение элемента rjl корреляционной матрицы R. При этом Rjl = (-l)j+l Mjl, где Mjl — минор, т.е. определитель матрицы, получаемой из матрицы R путем вычерчивания j-й строки и l-го столбца. Множественный коэффициент корреляции (k - 1)-го порядка результативного признака x1 определяется по формуле
(53.4)
где | R | — определитель матрицы R. Значимость частных и парных коэффициентов корреляции, т.е. гипотеза H0: ρ = 0, проверяется по t-критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле
(53.5)
где r — соответственно оценка частного или парного коэффициента корреляции ρ; l — порядок частного коэффициента корреляции, т.е. число фиксируемых факторов (для парного коэффициента корреляции l=0). Напомним, что проверяемый коэффициент корреляции считается значимым, т.е. гипотеза H0: ρ = 0 отвергается с вероятностью ошибки α, если tнабл по модулю будет больше, чем значение tкр, определяемое по таблицам t-распределения для заданного α и υ = n – l - 2. Значимость коэффициентов корреляции можно также проверить с помощью таблиц Фишера — Иейтса. При определении с надежностью у доверительного интервала для значимого парного или частного коэффициента корреляции р используют Z-преобразование Фишера и предварительно устанавливают интервальную оценку для Z:
(53.6)
где tγ вычисляют по таблице значений интегральной функции Лапласа из условия
значение Z' определяют по таблице Z-преобразования по найденному значению r. Функция Z' — нечетная, т.е.
Обратный переход от Z к ρ осуществляют также по таблице Z-преобразования, после использования которой получают интервальную оценку для ρ с надежностью γ:
Таким образом, с вероятностью γ гарантируется, что генеральный коэффициент корреляции ρ будет находиться в интервале (rmin, rmax). Значимость множественного коэффициента корреляции (или его квадрата — коэффициента детерминации) проверяется по F-критерию. Например, для множественного коэффициента корреляции проверка значимости сводится к проверке гипотезы, что генеральный множественный коэффициент корреляции равен нулю, т.е. H0 : ρ1/2,…,k = 0, а наблюдаемое значение статистики находится по формуле
(53.7)
Множественный коэффициент корреляции считается значимым, т.е. имеет место линейная статистическая зависимость между х1 и остальными факторами х2, ..., хk, если Fнабл > Fкр, где Fкр определяется по таблице F-распределения для заданных α, υ1 = k - 1, υ2 = n - k.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Корреляционный анализ» з дисципліни «Курс соціально-економічної статистики»
