Моделирование банковской деятельности на основе аппарата теории оптимального управления
В теории оптимального управления рассматриваются управляемые системы (объекты). Состояние системы в каждый момент времени задается n числами x1, x2,…, xn , которые называются фазовыми координатами. Движение системы заключается с математической точки зрения в том, что ее состояние с течением времени изменяется, т. е. фазовые координаты являются функциями времени xi=xi(t), i = 1, 2…, n. Таким образом, в пространстве фазовых координат x1, x2,…, xn состояние системы характеризуется вектор-функцией x(t) = (x1(t),…, xn(t)). Движением системы можно управлять с помощью значений в каждый момент времени некоторой вектор-функции u(t) = = (u1(t),…,um(t)), j=1, 2,…, m, которая называется управлением. Меняя управление u(t), можно получить различные траектории движения системы в пространстве координат x1, x2,…, xn. Движение системы на отрезке времени [t0 ,T] вдоль некоторой траектории оценивается с помощью показателя качества или функционала. Управление u(t) называется оптимальным, если на соответствующей ему траектории функционал достигает экстремального (максимального или минимального) значения. Перейдем к математической формулировке задачи оптимального управления. Запишем дифференциальные уравнения, определяющие состояние исследуемой системы в каждый момент времени : (10.1) Состояние системы в начальный момент времени t = t0 определяется заданием значений фазовых координат x1(t) = x10 , x2(t) = x20 , …, xn(t) = xn0 , (10.2) а в конечный момент t = T заданием некоторых уравнений относительно xi(T) и T: (10.3) Условия (10.2), (10.3) называются граничными (или краевыми). Показатель качества задается, как правило, в виде функционала J(x ,u), зависящего от вектор-функций x(t), u(t). Напомним, что функционал – это закон, в силу которого каждой паре функций x(t), u(t) ставится в соответствие действительное число. Во многих задачах оптимального управления функционал представляется в виде определенного интеграла , (10.4) где – заданная функция. К функциям xi(t), uj(t) (i = 1, 2,…, n; j=1, 2,…, m), рассматриваемым в (1) и (4), предъявляются следующие требования: - функции xi(t) кусочно-дифференцируемы на отрезке [t0, T]; - функции uj(t) кусочно-непрерывны на отрезке [t0, T]; - на области изменения функций xi(t), uj(t) накладываются ограничения, записываемые в виде некоторой системы равенств и неравенств: (10.5) Сформулируем теперь задачу оптимального управления: найти управление и переменные , доставляющие минимум (или максимум) функционалу J(x, u) и удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений (10.1), краевым условиям (10.2) и (10.3), а также ограничениям (10.5). Условия и формулировка задачи и оптимального управления будут иметь более компактный вид, если ввести следующие вектор-функции:
Тогда формулировка задачи оптимального управления запишется следующим образом: найти вектор-функции доставляющие минимум (или максимум) функционалу (10.6) при дифференциальных связях (10.7) краевых условиях (10.8) (10.9) и ограничениях (10.10) (10.11) Вектор-функцию , которая удовлетворяет всем условиям сформулированной задачи, называют оптимальной программой или оптимальным управлением. Соответствующую траекторию движения (процесс), определяемую из системы , называют оптимальной траекторией, а функционал (10.6) – целевой функцией. Классификация задач оптимального управления Конкретизация выражений (10.6) и (10.11) порождает различные типы задач оптимального управления. Типы задач определяются способами задания функционала (10.6), ограничений (10.10), (10.11) и краевых условий (10.8). Способы задания функционала 1. Интегральный функционал. Задача Лагранжа. Интегральным называется функционал вида , (10.16) где F – скалярная дифференцируемая функция векторных аргументов x, u и скалярного аргумента t, т. е.
В случае отсутствия ограничений (10.10) и (10.11) задача о минимуме функционала (10.16) при условиях (10.7), (10.8), (10.9) традиционно называется задачей Лагранжа. Она является классической задачей вариационного исчисления. 2. Задача Майера. В этой задаче минимизируемый функционал имеет вид: (10.17) т. е. представляет собой некоторую функцию конечного состояния. 3. Задача Больца. Определить вектор-функции x(t), u(t), доставляющие минимум функционалу (10.18) при ограничениях (10.11) – (10.15). В этой задаче имеем функционал смешанного типа. Способы задания ограничений вдоль траектории. 1. Ограничение на управление. Если ограничение на управление отсутствует, мы получаем классическую задачу, которая решается методами вариационного исчисления. Однако в практических задачах, как правило, управления являются ограниченными. Например, часто встречаются ограничения типа
В таких случаях классические методы решения оказываются непригодными. Для решения подобных задач в конце 50-х годов Л. С. Понтрягиным и его учениками был разработан принцип максимума, который мы рассмотрим ниже. 2. Ограничения на фазовые переменные. Применимость того или иного метода решения задач с ограничениями на фазовые координаты существенно зависит от вида этих ограничений. Обычно здесь различают ограничения в виде равенств или неравенств. 3. Совместные ограничения на управления и фазовые переменные не могут быть разделены. Подобные задачи часто встречаются в экономике. 4. Изопериметрическая задача (задача с интегральными ограничениями): определить минимум функционала при ограничениях (10.19) где – некоторые заданные скалярные функции, а – известные числа. Название этому классу задач дала следующая «историческая» задача, изучавшаяся еще в конце XVII века: определить кривую данной длины, которая ограничивает максимальную площадь. Изопериметрические задачи встречаются в экономике в случаях, когда задан суммарный объем некоторого ресурса, которым мы вправе распоряжаться. Способы задания краевых условий. 1. Задача с фиксированными концами. В этих задачах заданы векторы начального и конечного состояний, т. е. x(t0) и x(T). Различают также задачи с фиксированным временем (t0 ,T – заданы) и нефиксированным (либо t0, либо T не задано). 2. Задача со свободным концом. Если x(t0) или x(T) не задано, то мы имеем задачу со свободным левым (правым) концом. 3. Задача с подвижными концами. Если t0, T – фиксированы, x(t0) задан, а вектор x(t) лежит на гиперповерхности, определяемой уравнением (10.13), то говорят о задаче с фиксированным временем и свободным правым концом. Аналогично можно сформулировать задачу со свободным левым концом. Приведенная классификация не является всеобъемлющей, но она вполне достаточна для тех задач, которые возникают при моделировании банковской деятельности. Рассмотренные выше задачи описывают поведение систем с непрерывным временем, т. е. систем, состояние которых описывается дифференциальными уравнениями. Однако для моделирования банковской деятельности не менее важное значение имеют системы с дискретным временем. Состояние таких систем описывается системой дискретных (разностных) уравнений. Методы решения таких задач важны и с точки зрения численного решения непрерывных задач оптимизации. Некоторые из этих методов будут рассмотрены ниже.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Моделирование банковской деятельности на основе аппарата теории оптимального управления» з дисципліни «Моделювання банківської діяльності»
