Многоэтапная динамика на базе мультипликативной стохастической модели
Рассмотрим относительно простую ситуацию. Будем считать, что объемы привлеченных средств по периодам являются некоторым внешним фактором, динамика которого может быть описана с помощью мультипликативной стохастической модели. Тогда объем привлеченных средств в период t + 1 можно представить как , (9.16) где коэффициенты приращения – случайные величины, распределенные по логарифмически нормальному закону с параметрами и , причем предполагается, что зависят от v . Тогда уравнение (9.14) приобретает вид . (9.17) Решение данного уравнения можно найти, используя метод Дюамеля для z-преобразования. С этой целью рассмотрим вспомогательное уравнение , (9.18) где (9.19) Пусть и z-преобразования функций и Тогда и изображающее уравнение для (4.3.7) примет вид . (9.20) Следовательно, . (9.21) Оригиналом для служит последовательность Поэтому по известным свойствам z-преобразования имеем (9.22) Чтобы привести уравнение (4.3.6) к нулевому начальному условию, введем новую переменную ht = qt – q0 . Если положить , (9.23) то уравнение для ht примет вид (9.24) Обозначим H(z) – z-преобразование ht и F(z) – z-преобразование Тогда изображающее уравнение для уравнения (4.3.13) примет вид (9.25) Рассматривая совместно уравнения (4.3.9) и (4.3.14), получим (9.26) Это означает, что последовательность ht, являющаяся оригиналом для H(z), может быть найдена как свертка оригиналов gt и , т. е. . (9.27) После элементарных преобразований выражение (9.27) принимает вид . (9.28) Таким образом, найдено решение разностного уравнения (4.3.6) . (9.29) В том случае, когда коэффициенты элементарного перехода имеют одинаковое распределение для всех моментов t , решение (9.29) принимает вид . (9.30) Используя результаты, полученные для стохастических мультипликативных моделей, прогноз величины привлеченных средств на момент t + 1 может быть выражен как , , (9.31) где x0 – объем привлеченных средств на начальный момент времени; – оценки значений параметров соответственно. В силу предположения о взаимной независимости коэффициентов перехода , заменив их в формуле (9.30) соответствующими оценками, получим выражение для прогнозирования объема собственных средств на момент t (9.32) где значение может быть получено из (9.31). В частном случае, если , после раскрытия неопределенности выражение (9.32) имеет более компактную форму . (9.33) Формулы (9.32) и (9.33) имеют прозрачную экономическую интерпретацию – объем собственных средств финансовой фирмы на момент времени t зависит, в рамках предложенной модели, от двух составляющих: - – величины начального капитала с учетом проводимой политики накопления; - – результатов деятельности по привлечению средств и получению доходов от их активного использования.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Многоэтапная динамика на базе мультипликативной стохастической модели» з дисципліни «Моделювання банківської діяльності»
