Имитационное моделирование как статистический эксперимент
Основная цель рассмотренного выше примера – привлечь внимание к тому факту, что имитационное моделирование не ограничивается разработкой модели и написанием машинной программы; моделирование представляет собой статистический эксперимент, и его результаты необходимо рассматривать именно с этой точки зрения. В частности, для любого эксперимента, связанного с моделированием, необходимо ответить на следующие вопросы: 1. Какова должна быть продолжительность прогона для достижения стационарных условий? 2. Каким образом получать статистически независимые наблюдения? 3. Каким образом можно получать результаты моделирования, оставляя затраты на разумном уровне и не слишком жертвуя точностью? 4. Сколько наблюдений требуется для достижения необходимого значения доверительных интервалов? Эти вопросы никак нельзя считать простыми, и мы пока отложим их обсуждение. Рассмотрим приемы построения и эксплуатации отлаженной имитационной модели, имея в виду некоторые важные идеи, которые не удается описать с помощью простого метода Монте- Карло. Первый шаг к созданию имитационной модели состоит в описании реально существующей системы с использованием характеристик основных событий. Событие определяется как точка во времени, в которой происходят изменения характеристик системы. Обычно изменения имеют место в тех случаях, когда кончается один процесс (или несколько процессов) и начинаются другие. Для получения требуемых результатов моделирования достаточно наблюдать систему в те моменты, когда происходят события. Для иллюстрации идеи использования событий в имитационном моделировании рассмотрим пример системы массового обслуживания с одним узлом обслуживания.
Пример 2.9.3. Целью моделирования такой системы является оценивание операционных характеристик обслуживающей системы, в том числе среднего времени пребывания клиента в очереди, средней
318 длины очереди и доли времени простоя системы. Операционные характеристики процесса массового обслуживания могут менять свои значения либо в момент поступления дополнительного требования на обслуживание, либо при завершении обслуживания. К обслуживанию очередного клиента могут приступить немедленно, но не исключена и необходимость ожидания, когда клиенту придется занять место в очереди. С другой стороны, после завершения обслуживания система может приступить к обслуживанию следующего клиента. Однако при отсутствии очереди система начинает простаивать. Можно получить необходимую информацию, наблюдая различные условия, которые возникают при наступлении того или иного события. Например, можно следить за длиной очереди следующим образом. При поступлении нового клиента длина очереди увеличивается на единицу, если система функционирует. Аналогично длина очереди уменьшается на единицу, если обслуживание завершено и очередь непустая. Для эксплуатации любой имитационной модели необходимо выбрать единицу времени. В зависимости от природы моделируемой системы такой единицей может быть минута, месяц и т.п. Например, при моделировании работы аэропорта в качестве единицы времени можно использовать и одну минуту, если интенсивность работы аэропорта высокая (крупный город), и один час, если аэропорт не очень загружен (небольшой город). Покажем теперь, как эксплуатируется типичная имитационная модель. Допустим, что надо моделировать работу системы в течение Т единиц времени. Работа начинается с данными, относящимися к нулевому моменту времени, и отмечаются соответствующие события на шкале времени в хронологическом порядке. Таким образом, модель функционирует, «перепрыгивая» от одного события к другому, непосредственно за ним следующему. Каждое событие сопровождается корректировкой протокола, отражающего возможные изменения в показателях функционирования. Резкие переходы (скачки), совершаемые моделью при переходе от одного события к другому, указывают на то, что процесс протекает в дискретном времени, откуда появилось название «дискретное моделирование». Пусть в среднем в систему поступает λ=3 клиента в час, а время обслуживания одного клиента равно 0.2 ч. или 0.6 ч. с равной вероятностью 0.5. Клиенты обслуживаются согласно дисциплине «первым пришел – первым обслуживаешься»; длина очереди, а также источник поступления клиентов не ограничены. Пусть система
319 начинает работу при пустой очереди, тогда первая заявка на обслуживание поступает через t = – (1/3)ln0.058962=0.94 ч. (используем формулу (2.9.1) для получения случайных чисел, распределенных по экспоненциальному закону, при этом берем псевдослучайные числа из табл.2.9.1). Следующая заявка поступит в момент t=0.94+ (–1/3)ln0.673284=1.07. Время обслуживания первого клиента, задаваемое очередным (третьим) случайным числом R= 0.479909 из табл. 2.9.1, равно 0.2 ч, тогда время окончания его обслуживания будет равно 0.94+0.2=1.14, значит, второй клиент будет стоять в очереди 1.14 –1.07=0.07 ч. Третья заявка поступает в момент t=1.07+ (–1/3)ln0.948578=1.09 и становится в очередь. Следующая заявка поступает в момент t=1.09+ (–1/3)ln0.61396=1.25. Второй клиент начинает обслуживание в 1.14 и оканчивает (R=0.934123) в 1.14+0.6=1.74, значит, третий клиент находится в очереди 1.74 –1.09=0.65 и т.д. Поступление Поступление Поступление Конец Поступление Конец первого второго третьего обслуживания четвертого обслуживания клиента клиента клиента первого клиента второго клиента клиента Т 0 0.94 1.07 1.09 1.14 1.25 1.74 Процедура повторяется до тех пор, пока не будет промоделирован весь интервал Т. После этого можно определить различные характеристики системы массового обслуживания, такие как доля времени простоя, среднее время ожидания, средняя длина очереди и т.п. Процедура имеет большое сходство с физическим экспериментом.
Пример 2.9.4. Построим имитационную модель системы управления запасами. Пусть ежедневно вначале учитываются объемы заказов на пополнение, подлежащие реализации в данный день, осуществляются поставки клиентам и, наконец, производится оценка оставшегося объема запасов и оформляется (при необходимости) дополнительный заказ на пополнение запасов, который исполняется через L дней. Допустим, что заказывается Q единиц продукции всякий раз, когда имеющийся уровень наличия запасов меньше либо равен s.
320 Процедура 1. Просматриваем последовательно дни с t=1 до t=Т. Если подошел срок исполнения заказа на пополнение, то объем наличных запасов увеличиваем на Q. Процедура 2. Генерируем для дня t коммерческий спрос в объеме q, предполагая для него некоторое распределение вероятностей (используем генератор случайных чисел или другие методы, обеспечивающие получение случайных величин заданного распределения). Процедура 3. Сокращаем объем наличных запасов на величину q. Сравниваем остаток с уровнем s. Если остаток меньше либо равен s, устанавливаем срок исполнения заказа на пополнение на t + L. Переходим к процедуре 1. В результате эксплуатации данной имитационной модели могут быть получены количественные показатели, характеризующие средний ежедневный объем наличных запасов, число случаев неудовлетворенного спроса, количество дней, когда оформлялся заказ на пополнение и т.п. Пусть Q=2, s=1, L=2. Предположим, что спрос q может принимать значения 1 или 3 с вероятностями 0.5. Начальные условия для первого дня: наличные запасы равны 2, заказа на пополнение нет. Проимитируем данную систему управления запасами на 20- дневном интервале, генерируя случайный спрос с помощью бросания монеты: орел – q =1, решка – q =3. Результаты занесем в табл.2.9.2 Таблица 2.9.2. День Запасы на утро спрос На какой день пополняем? Удовлетворение спроса в % 1 2 3 На 3 66.7 2 0 3 0 3 0+2 3 На 5 66.7 4 0 3 0 5 0+2 1 На 7 100 6 1 1 100 7 0+2 1 На 9 100 8 1 3 33.3 9 0+2 1 На 11 100 10 1 1 100 11 0+2 1 На 13 100 12 1 3 33.3
321 13 0+2 3 На 15 66.7 14 0 1 0 15 0+2 1 На 17 100 16 1 3 33.3 17 0+2 1 На 19 100 18 1 1 100 19 0+2 1 На 21 100 20 1 3 33.3 Можно вычислить теперь средний процент удовлетворения спроса: (0×3+33.3×4+66.7×3+100×10)/20=66.66, средний ежедневный объем наличных запасов: (0×3+7×1+10×2)/20=1.35. Модель несколько усложнится, если избыток спроса (по отношению к уровню запасов) прибавляется к спросу в последующий интервал времени. Имитационные модели можно также применять при исследовании поведения системы управления запасами в условиях альтернативных вариантов политики подачи заказов. Это позволит администрации выбрать тот вариант, который наилучшим образом отвечает поставленным целям. До сих пор рассматривались лишь такие имитационные модели, которые в определенной степени аппроксимируют реальные ситуации. Их назначение – имитирование условий функционирования операционных систем с целью определения последствий принятия тех или иных управляющих решений. К данному классу моделей тесно примыкают имитационные модели, с помощью которых пытаются решать задачи поиска цели и целенаправленного поведения. В этих моделях обнаруживаются элементы так называемого искусственного интеллекта. К числу широко известных примеров комьютерных программ, в которых заложены элементы искусственного интеллекта, относятся программы игры в шахматы и шашки. Имели место случаи, когда такого рода программы находили применение и в связи с решением задач организационного управления. Среди этих приложений можно выделить самостоятельную группу, в которой основным объектом исследования являются бихевиориальные (поведенческие) качества руководителя. Мерой эффективности модели бихевиориальной ориентации является ее способность генерировать решения,
322 согласующиеся с управляющими решениями, которые вырабатывает личность, чье поведение модель имитирует. Другая группа моделей нацелена на решение сложных комбинаторных задач, аналогичных задачам, рассмотренным в теме 2.4. Методы, в которых используются модели данного класса, иногда называют эвристическими. В частности, ряд моделей эвристического характера был разработан в связи с решением комплексных задач календарного планирования. Приведенный ниже пример поможет читателю уловить основную идею метода эвристического программирования. Пусть с помощью имитационной модели пытаются построить такой график размещения заказов на предприятии с мелкосерийным производством, при котором имеющееся оборудование используется с максимальной эффективностью. Машинное имитирование начинается с пробного размещения нескольких заказов. Затем определяется следующий заказ, подлежащий включению в разрабатываемый график, и рассматриваются различные ограничения, определяются даты исполнения и подбирается оборудование требуемой производительности. В результате такого анализа ЭВМ может пересмотреть график размещения некоторых предыдущих заказов. Короче говоря, в машинной модели заложена стратегия «продвижения вперед с учетом ретроспективных данных». Такая модель является самообучающейся. Она опирается на метод «проб и ошибок» и после серии последовательных тестов приводит к одному из допустимых графиков размещения заказов. Если формирующие стратегию предписания разработаны достаточно тщательно, этот график, как правило, оказывается вполне удовлетворительным. Нередко получаемый график является почти оптимальным; при этом степень оптимальности оценивается с учетом конкретного критерия эффективности, который по построению содержит элементы эвристики, заложенные в самой стратегии. В последнее время деловые игры нашли широкое применение в области подготовки кадров административных работников. Они используются также при анализе динамических характеристик больших систем, функционирующих в условиях конкуренции с другими системами, каждая из которых придерживается своей «стратегии поведения». Мы рассмотрели метод Монте-Карло, в котором всем переменным модели ставится в соответствие определенное множество дискретных значений. Данный метод позволяет на основе
323 собранной исходной информации сгенерировать для каждой переменной соответствующее распределение вероятностей. Из этих распределений с помощью случайных чисел получают значения переменных модели, которые используют затем в процессе моделирования. Методы имитационного моделирования, хотя и не приводят к получению оптимальных решений, как, например, методы линейного программирования, однако, позволяют выработать направления политики, приводящей к лучшим результатам. Но прежде, чем внедрять какой-либо из результатов, изученных по имитационной модели, в практику, необходимо произвести оценку ее надежности и, осуществив расчеты на более длительный период, получить репрезентативные характеристики. Обычно расчеты по имитационным моделям проводятся с помощью пакетов прикладных программ.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Имитационное моделирование как статистический эксперимент» з дисципліни «Математична економіка»
