Модель 3. Пусть параллельно могут обслуживаться не более s клиентов. Такие модели называются многоканальными (s – число каналов обслуживания). Здесь λn =λ (n≥0), μn = nμ при n ≤s , μn = sμ при n ≥ s. Рассмотрим случай неограниченной длины очереди.
Для данной модели расчетные формулы (Эрланга) имеют вид:
219 Рn = Р0(λ/μ)n / n! (n ≤ s), (2.6.9) Рn = Р0(λ/μ)n / s!/sn-s (n ≥ s), (2.6.10) . )1(! )/( ! )/( 1 1 0 0 ∑ − =−⋅ + = s п sn s sn Р μ λ μλμλ (2.6.11) Для wn – среднее число клиентов, ожидающих обслуживания:
wn = Р0(λ/μ)s+1/(s–1)!/(s–λ/μ)2, (2.6.12) для общего числа клиентов, находящихся в системе, имеем n = wn +λ/μ, (2.6.13) для wt – среднее время ожидания обслуживания:
wt = wn /λ. (2.6.14)
Вероятность обязательного пребывания в очереди равна вероятности занятости всех каналов обслуживания. Обозначим ее через W. Тогда W= Р0(λ/μ)s/s!. (2.6.15) Известный интерес представляет вероятность того, что суммарное время обслуживания и его ожидания превзойдет заданную величину t. Обозначим эту вероятность через Р(>t). Р(>t)=e–μt(1+(W/s)(1– e–μst(1–λ/μs–1/s))/(1–λ/μs–1/s)). (2.6.16) Вычисления в соответствии с данной моделью могут оказаться весьма громоздкими, тогда используют приближенные методы. Например, при λ/μ<<1 можно принять Р0 ≈1 – λ/μ, wn ≈(λ/μ)s+1/s2, тогда как для значений λ/μ, близких к 1, Р0 ≈ (s – λ/μ)(s – 1)! /ss и wn ≈ (λ/μ)/(s – λ/μ). Пример 2.6.4. Пусть на нашей станции 3 канала обслуживания (исполнителя), а мест для ожидания неограниченное число. Пусть, как и прежде λ = 5 и μ =6. Имеем λ/μ =0.833, s =3 и Р0 = 1/(0.8330/0!+0.8331/1!+0.8332/2!+ 0.8333 /(3!(1 –0.833/3))) = 0.432,
wn =0.432⋅0.8334/2!/(3–0.833)2 = 0.022,
wt =0.022/5 = 0.0044 часа.(16 сек.) Таким образом, при данных условиях 43.2% времени станция простаивает, среднее время ожидания обслуживания составляет 16сек. С точки зрения клиента отлично, но простой оборудования (исполнителей) влетает в копеечку. Кроме того, имеем: Р1 =0.40, Р2 =0.15, Р3 =0.04.
220 Вычислим параметры системы при 2 исполнителях. Р0 = 1/(0.8330/0!+0.8331/1!+ 0.8332 /(2!(1 –0.833/2))) = 0.412,
wn = 0.412⋅0.8333/1!/(2–0.833)2 = 0.17,
wt = 0.17/5 = 0.034 часа.(2 мин.) Простой составляет 41.2% времени, среднее время ожидания 2 мин. Сравним с результатами примера 2.6.2, где при наличии только одного исполнителя простой составлял 17%, а среднее время ожидания 50 мин. В силу малого времени ожидания параметры W и Р(>t) в данном примере интереса не представляют. Р1 =0.34, Р2 =0.14, Р3 =0.06. Модель 4. Рассмотрим теперь модель, которая отличается от предыдущей только тем, что число мест для ожидания обслуживания ограничено величиной k. Здесь λn =λ при 0≤n < k+s и λn =0 при n ≥ k+s; μn = nμ при n≤s, μn = sμ при s ≤ n ≤ s+k. Формулы для характеристик модели имеют вид: Рn = Р0(λ/μ)n / n! (n ≤ s), (2.6.17) Рn = Р0(λ/μ)n / s!/sn-s (s ≤ n ≤ s+k ), (2.6.18)
∑ − = + −⋅ − + = 1 0 10 )1(! ))(1()/( ! )/( 1 s п ks n s s s n Р μ λ μ λ μλ μλ , λ/μ≠s, (2.6.19)
∑ − = + + =1 0 0 ! )1()/( ! )/( 1 s п sn s k n Р μλμλ , λ/μ=s, (2.6.20) Для wn – среднее число клиентов, ожидающих обслуживания:
wn =Р0(λ/μ)sk(k+1)/(2s!), λ/μ=s, (2.6.22) для wt – среднее время ожидания обслуживания:
wt = wn /λ/(1– Рk+s). (2.6.23) Пример 2.6.5. Пусть в дополнение к последнему примеру наша станция располагает двумя местами для ожидания обслуживания (k=2 и s=2). Тогда получим: Р0=1/(0.8330/0!+0.833/1!+0.8332(1–(0.833/2)2+1)/2!/(1–0.833/2)) = 0.423,
221 и wt =0.25/5/(1– Р2+2)= 0.25/5/(1 – 0.423⋅0.833 4 /2!/22)=0.05 час. Для двух каналов обслуживания входной поток заказов очень слабый, изменим его, пусть λ=12, тогда λ/μ=2= s и мы имеем Р0=1/(20/0! +2/1!+22(2+1)/2!)= 0.111,
wn =0.111*22*2*3/(2*2!)=0.67,
wt =0.67/12/(1–Р2+2)=0.67/12/(1–0.111⋅24/2!/22)=0.07 ч. При таком входном потоке простой оборудования составляет 11.1%, а среднее время ожидания обслуживания 0.07⋅60= 4.3 мин. Рассмотрим более крупный пример, на котором нагляднее иллюстрируются формулы моделей 3 и 4.
Пример 2.6.6. Вариант 1. Имеем станцию с 4 каналами обслуживания и с неограниченным количеством мест для ожидания. Пусть λ=20 заявок в час, время обслуживания одной заявки 11.5 мин. (μ=60/11.5=5.217), тогда λ/μ=20/5.217=3.83 и s=4. Используем (2.6.11): Р0 = 1/(3.830/0!+3.83/1!+3.832/2!+3.833/3!+3.834/4!/(1–3.83/4))=0.0042. Из (2.6.12)–(2.6.14) получаем среднее время ожидания:
wt =0.0042⋅3.83 5/3!/(4–3.83)2/20= 1 час. Вероятность обязательного пребывания в очереди (2.6.15): W= 0.0042⋅3.834/4!=0.886. Найдем вероятность того, что суммарное время обслуживания и ожидания превзойдет величину t=0.5 (30 мин.). Применим (2.6.16): Р(>0.5) =e–5.217/2(1+0.886/4)(1–e–5.217⋅4/2(1–3.83/4–1/4))/(1–3.83/4–1/4))=0.7. Таким образом, 88.6% клиентов обязательно проходят через очередь, причем 70% находятся в ней более получаса (правда, включая время обслуживания). Вариант 2. Добавим к варианту 1 ограничение на количество мест для ожидания. Пусть k=16, тогда из (2.6.19) находим сначала Р0=1/(1+3.83+3.832/2!+3.833/3!+3.834(1–(3.83/4)17)/4!/(1–3.83/4))=0.00759 и, следовательно, из (2.6.21) получаем
wn =0.00759⋅3.835(1–(3.83/4)16–16(3.83/4)16(1–3.83/4))/3!/(4–3.83)2=5.82. Поскольку Р20=3.8320⋅0.00759/4!/416=0.03397, используя (2.6.23), имеем для среднего времени ожидания обслуживания:
wt =5.82/20/(1–0.03397) =0.301 часа.(18 мин.) Сравнивая варианты 1 и 2, видим, что при ограничении мест для ожидания, продолжительность ожидания сокращается более чем в три
222 раза, причем это достигается ценой потери около 3.4% потенциальных клиентов (Р20=0.03397).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Многоканальные системы массового обслуживания» з дисципліни «Математична економіка»
