Пусть имеется п различных отраслей, каждая из которых производит свой продукт. В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Будем вести речь о некотором определенном промежутке времени (обычно таким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения: хi – объем продукции отрасли i за данный промежуток времени – так называемый валовой выпуск отрасли i ; хij – объем продукции отрасли i , расходуемый отраслью j в процессе своего производства; yi – объем продукции отрасли i , предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере – объем конечного потребления. Этот объем составляет обычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т. д.), поставки на экспорт. Очевидно, что при i = 1,..., п должно выполняться соотношение
хi = хi 1 + хi 2 +...+ хin + yi , (1.4.1) означающее, что валовой выпуск хi расходуется на производственное потребление, равное хi 1 + хi 2 +...+ хin и непроизводственное потребление, равное yi . Будем называть (1.4.1) соотношениями баланса. Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы и т. п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостной баланс. В.Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в предвоенный период, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно, для выпуска любого объема хj продукции отрасли j
необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве aijхj , где aij
69 существующей технологии). Принцип линейности распространяется и на другие виды издержек, например, на оплату труда, а также на нормативную прибыль. Коэффициенты aij называют коэффициентами прямых затрат
(коэффициентами материалоемкости). В предположении линейности соотношения (1.4.1) принимают вид: х 1 = a 11 х 1 + a 12 х 2 +...+ a 1 n
хn + у 1 , х 2 = a 21 х 1 + a 22 х 2 +...+ a 2 n
хn + у 2, ………………………….. хn = a n1 х 1 + a n2 х 2 +...+ a n n
хn + уn , или, в матричной записи, x = Ax + y , (1.4.2) где ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = пппп п п ааа ааа ааа А ... ............ ... ... 21 22221 11211
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = пу у у ... 1 – столбец объемов конечного потребления. Соотношение (1.4.2) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов х и у это соотношение называют также моделью Леонтьева. Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода задается вектор у конечного потребления. Требуется определить вектор х валового выпуска. Проще говоря, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений, соответствующую матричному уравнению (1.4.2) с неизвестным вектором х при заданных матрице А и векторе у . Если обратная матрица ( Е – А )-1 существует, то решение находится в виде
70
х = ( Е – А )-1 у . (1.4.3) Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов аij
прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом случае аij есть стоимость продукции отрасли i , вложенной в 1 руб. продукции отрасли j . Отсюда, между прочим, видно, что стоимостной подход по сравнению с натуральным обладает более широкими возможностями. При таком подходе уже необязательно рассматривать «чистые», т.е. однопродуктовые, отрасли. Ведь и в случае многопродуктовых отраслей тоже можно говорить о стоимостном вкладе одной отрасли в выпуск 1 руб. продукции другой отрасли; скажем, о вкладе промышленной сферы в выпуск 1 pyб. сельскохозяйственной продукции или о вкладе промышленной группы А (производство средств производства) в выпуск 1 руб. продукции группы В (производство предметов потребления). Вместе с тем надо понимать, что планирование исключительно в стоимостных величинах может легко привести к дисбалансу потоков материально- технического снабжения. Коэффициенты обратной матрицы ( Е–А )-1 называются коэффициентами полных затрат . Пример 1.4.1. Решить уравнение межотраслевого баланса, если
, 3.09.0 6.02.0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = А
у = . 20 10 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
В данном случае , 7.09.0 6.08.0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =− АЕ
