Пусть Y=F(K,L) – национальный доход, где К – объем капиталовложений (фондов), L – величина затрат труда, F(K,L) – линейно-однородная производственная функция (F(tK,tL) = tF(K,L)). Пусть f ( k )=Y/L – производительность труда, где k = K/L – фондовооруженность. Предполагаем, что: 1) происходит естественный прирост трудовых ресурсов, т.е. L' = a L( a = const). (1.3.8) 2) Инвестиции направлены как на увеличение производственных фондов, так и на амортизацию, т.е. I=K' +βК (β – норма амортизации). Пусть l – норма инвестиций (т.е. I = l Y), тогда К'= l Y – βК. (1.3.9) Из определения фондовооруженности вытекает ln k =lnK – lnL. Дифференцируя эти соотношения по t получим
k '/ k = К'/K – L'/L. Подставляя сюда значения для L' и К' из (1.3.8) и (1.3.9), находим
k '/ k = l Y/K – β – a , т.е. k '= l Y/L – (β + a ) k . Учитывая, что f ( k )=Y/L, получим
k '= lf ( k ) – ( a +β) k. (1.3.10) Уравнение (1.3.10) называется уравнением неоклассического роста (частный случай уравнения Солоу).
61 Замечание. У автономного дифференциального уравнения (1.3.10) существует стационарное решение k = k *. (рис.1.3.3).
Рис. 1.3.3 Интегральная кривая уравнения (1.3.10) очень напоминает логистическую кривую (рис. 1.3.4).
Рис. 1.3.4 Пример 1.3.1. Рассмотрим уравнение Самуэльсона
p'= k (d(p) – s(p)), (1.3.11) моделирующее связь между изменением цены р и неудовлетворенным спросом d(p) – s(p) (здесь d(p) и s(p) – соответственно величины спроса и предложения при цене р, k > 0). Предположим, что спрос и предложение задаются линейными функциями d(p) = a – b p, s(p) = т + п р, (1.3.12) где а, b, т, п – некоторые положительные числа. С учетом (1.3.12) уравнение (1.3.11) примет вид р'= k (n – b)p + k ( a+m ). (1.3.13) Уравнение (1.3.13) является линейным дифференциальным урав- нением. Найдем решение соответствующего ему однородного урав- нения. Имеем р'= k ( n – b )p; ln р = р'= k ( n – b )t + ln С; p(t)=C e k(n – b) p. В качестве частного решения уравнения (1.3.13) можно исполь- зовать стационарное равновесное решение p(t)= р = const, где р – корень уравнения d(p) = s(p) (в этом случае обе части уравнения (1.3.11) будут равны нулю). Из (1.3.13) нетрудно найти, что
. nb та р + − =
Таким образом, общее решение уравнения (1.3.13) имеет вид:
62
.)()( tbnkCe nb та tр −+ + − = (1.3.14) Из (1.3.14), в частности, вытекает, что если n > b, то с течением времени интегральные кривые будут отдаляться от состояния равновесия р (рис. 1.3.5).
Рис. 1.3.5 Если п = b , то p(t) = const. Если же п < b, то с течением времени интегральные кривые будут асимптотически приближаться к состоянию равновесия р (рис. 1.3.6).
Рис. 1.3.6
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неоклассическая модель роста» з дисципліни «Математична економіка»
