Экономические примеры, связанные с производственной деятельностью фирм
Пусть z – количество продукции, выпущенной некоторой фирмой; х, у – затраты ресурсов двух видов; z=Q(x,у) – дифференцируемая функция, устанавливающая связь х, у и z. Предположим, что величины х, у, z заданы в натуральных единицах, и рx, рy, рz – соответствующие этим единицам постоянные цены. Тогда выручка (валовой доход) будет R(x, у) =рzQ(x, у), а функция прибыли запишется следующим образом: π( x,y )= R(x, у) – рx x – рy y. (1.2.5) Пусть z* – оптимальный (с точки зрения прибыли) выпуск
42 продукции; х* , у* – соответствующие этому оптимальному количеству затраты ресурсов. Тогда точка М(х*,у*) является точкой локального максимума функции π (х, у ). Согласно необходимому признаку локального экстремума, в точке М обращаются в нуль частные производные первого порядка: π′ x ( М )= R ′ x(М) – рx = 0, π′ у ( М ) = R ′ у(М) – ру = 0, или R ′ x ( М ) = рx , R ′ x ( М ) = рx . Вывод : в точке локального максимума прибыли предельная выручка от каждого ресурса совпадает с его ценой. Этот вывод сохраняется и в более общем случае, когда цена рz зависит от объема выручки: рz=рz(Q).
Рассмотрим теперь фирму-монополию, которая продает свою продукцию на двух независимых рынках. Пусть рi, qi – соответственно цена и количество продукции, проданной монополией на i -м рынке ( i =1, 2). Из независимости рынков вытекает, что цена р 1 не зависит от q 2, т.е. р 1 = р 1 (q 1 ). Аналогично р 2= p 2 (q 2 ). Пусть С( q ) –
дифференцируемая функция издержек. Тогда функция прибыли имеет вид: π= р 1 q 1 + р 2 q 2 –С(q 1 + q 2 ).
В точке локального максимума прибыли имеем ,0)1(1111111=′−+=′−+′=′ CEpCpqpqpq π .0)1(2222222=′−+=′−+′=′ CEpCpqpqpq π Отсюда получаем отношения цен: . 1 1 22 11 1 2 qp qp E E p p + + = (1.2.6) Так как рынки по предложению независимы, то, используя свойства эластичности функции одной переменной, имеем ,)(11111−= pqqpЕE
.)(12222−= pqqpЕE
Пример 1.2.5 . На сколько процентов цена на втором из двух независимых рынков выше, если эластичность спроса на первом рынке ( – 2), а на втором – ( – 1,5)? Решение. Используя формулу (1.2.6), находим .5,1 3/21 2/11 )5,1(1 )2(1 1 1 1 2= − − = −+ −+ =− − p p
Следовательно, на втором рынке цена на 50% больше. Односторонняя модель Эрроу-Гурвица Рассмотрим модель, в которой в виде участвующих субъектов участвуют:
43 1. Два предприятия, использующие один и тот же ресурс (труд L) и производящие один и тот же вид продукции Y. Производственная функция здесь имеет вид: iadiidiiLcLFy )()(== , где i=1,2,
d iL – спрос на труд со стороны предприятия i ,
ci, ai – параметры производственной функции. 2. Функция полезности с точки зрения потребителей имеет вид: U( y 1, y 2)= b 1ln y 1+ b 2ln y 2. Потребители стремятся максимизировать функцию полезности, производители – функцию прибыли, выражаемую следующей формулой: П i = рiуi – iсi = рiуi – wdiL . где pi– цена производимого продукта, yi– объем выпуска фирмы i, w– цена ресурса (труда) . В модели рассматривается рынок совершенной (абсолютной) конкуренции. Исходные данные модели Эрроу-Гурвица 1. 0 iр– цена на продукцию в предшествующем периоде, i=1,2, 2. w 0 – цена на ресурс в предшествующем периоде, 3. Ls – предложение труда 4. d iy– спрос предшествующего периода на продукцию фирмы i, 5. bi , ci , ai
– параметры функции полезности и производственной функции 6. α i , β i , γ i
– коэффициент корректировки цен. Реакция предприятия на цены А. d iL ( p , w ) – размер спроса на ресурсы Б. s iу ( p , w ) – размер предложения продукта ,0=− ∂ ∂ = ∂ ∂ w L y p L П d i i id i i откуда , i d i i p w L y = ∂ ∂ ,)()( 1 1 11−−− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⇒=⇒= ∂ ∂ iiia iii d i i ad iii ad iiid i i pac w L p w LacLac L y
.)( 1− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ == i i ia a iii i ad ii s iacp w cLcy
Реакция потребителей на цены Потребитель определяет объем спроса пропорционально разнице между предельной полезностью и предельными затратами: i i iy b y U = ∂ ∂ ; ; d i d iyky +=β
44 . y b при ,0 y b при i i i i ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≤ >−=− ∂ ∂ = i ii i i i i p pp y b p y U k
β – коэффициент пропорциональности, ускоряющий процесс сходимости итераций. ED = s i d iyy − – избыточный спрос на продукт, EL = s i d iLL − – избыточный спрос на ресурс. Корректировка цен: p i =0 iр +ED×α, w= w 0+EL×γ. Если ED>0 , то цены увеличиваются, если ED<0, то цены падают, если ED=0, то цены не меняются – система в состоянии равновесия
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Экономические примеры, связанные с производственной деятельностью фирм» з дисципліни «Математична економіка»
