усть р – цена товара X, q – цена товара Y, R – доход потребителя. Напомним, что функцией полезности U ( x, у ) называется функция, задающая степень полезности (для потребителя) набора товаров, состоящего из х единиц товара Х и у единиц товара Y. Будем считать, что потребитель может покупать только такие наборы (х, у), стоимость которых не превосходит его дохода, т.е. рх + qy ≤ R.
Определение . Пусть функция полезности U ( x , y ), при любых положительных р , q и R имеет на множестве { рх + qy ≤ R, x ≥0, y ≥0} (1.1.6) единственную точку глобального максимума ( х *; у *). Тогда х *; у * –
функции от р,
q и R : х * = xD ( p,q,R), y * = yD ( p,q,R). Эти функции называются функциями спроса.
Смысл данного определения в том, что потребитель стремится к наибольшему удовлетворению от купленных им товаров при ограниченных средствах. Для любого t > 0 функции спроса удовлетворяют следующим тождествам: xD ( tp , tq , tR )= xD ( p , q , R ), yD ( tp , tq , tR )= yD ( p , q , R ). Таким образом, функции спроса являются однородными функциями степени однородности 0. Следовательно, для дифференцируемых функций спроса выполняются тождества Эйлера: px 'p+ qx 'q+ Rx 'R= 0, py 'p+ qy 'q+ Ry 'R= 0, (1.1.7) а также следующие уравнения для эластичности:
Е хр+ Е хq+ Е хR= 0, Е ур+ Е уq+ Е уR= 0. Функция Лагранжа запишется так:
23 L(х,у) = U(x,y) + λ (R – рх – qy).
Необходимые условия условного экстремума (условия Куна-Таккера) для функции L(x,у) будут следующие: U ' x(х,у) – λ р= 0 , U'y(x,y) – λ q = 0 , ( R–px – qy)= 0 , (1.1.8) λ≥0 .
Если U'x > 0 или U'y > 0 (чаще всего выполняются оба условия), то тогда λ можно исключить из системы. В итоге получаем систему уравнений U ' x(х,у) / U'y(x,y) = р / q, рx + qy= R. (1.1.9)
Пpимер 1.1.4 . Найти функции спроса xD, yD в случае функции полезности
U(x,у)= ln х + ln у – ln( x + у).
Решение. Для заданной функции полезности частные производные первого порядка таковы: . )( , )( yxy x U yxx y Uyx + =′ + =′ Система уравнений (1.1.9) имеет вид
U'x / U'x= y 2 / x 2 = p/q, рx + qy= R. Поэтому функции спроса таковы: ., pqq Ry pqp RxDD + = + = В заключение выведем уравнение Слуцкого для функций спроса . С этой целью преобразуем выражение q(x'q + ух'R). С учетом равенства qx'q = –рх'р – Rх'R , следующего из тождеств Эйлера (1.1.7), и равенства qy = R – рх, вытекающего из бюджетного равенства рх + qy = R, имеем q(x'q + ух'R) = –px'p –рх × х'R = – ( px'p + х ) + х (1 –
